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Beweis Nullteiler

Universität / Fachhochschule

Tags: Nullteiler, Primzahl, Restklasse, Ring

Nick2344 aktiv_icon

09:38 Uhr, 12.11.2017

Hallo,
ich habe Probleme folgendes zu beweisen:

Ist Z/pZ nullteilerfrei, dann folgt

p

ist Primzahl.

Also meine Ideen:
Nullteilerfreiheit heißt aus

\bar{a}, \bar{b}

folgt

\bar{a} \cdot \bar{b} \neq \bar{0}

und

p

ist eine Primzahl, wenn aus p|ab folgt

p | a

und

p | b

.

Wie bekomme ich das in einen Zusammenhang?

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Hierzu passend bei OnlineMathe:

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:

Teilbarkeit natürlicher Zahlen

pwmeyer aktiv_icon

09:52 Uhr, 12.11.2017

Hallo,

nimm an:

\bar{a} \cdot \bar{b} = 0

im Ring.

Was bedeutet das für

a \cdot \frac{b}{}

wie ist das definiert?

Dann verwende Deine Definition von Primzahl.

Gruß pwm

Nick2344 aktiv_icon

09:59 Uhr, 12.11.2017

Was meinst du? Ich kann das, was bei bedeutet steht nicht erkennen. Was soll das sein?

pwmeyer aktiv_icon

10:12 Uhr, 12.11.2017

Hallo,

habe mich vertippt. Ich habe nach der Defintion gefragt:

\bar{a} \cdot \bar{b} = 0

im Ring genau dann, wenn

a \cdot b = . .

.

Gruß pwm

Nick2344 aktiv_icon

10:20 Uhr, 12.11.2017

Das bedeutet doch entweder a oder

b = 0

oder?

pwmeyer aktiv_icon

10:53 Uhr, 12.11.2017

Hallo,

das ist falsch, dann gäbe es ja in keinem der Ringe Nullteiler - unabhängig davon ob

p

Primzahl ist.

Du musst zwischen den Zahlen

a, b \in ℤ

und den Klassen

\bar{a}, \bar{b}

im Ring unterscheiden.

Gruß pwm

Nick2344 aktiv_icon

12:45 Uhr, 12.11.2017

Wenn gilt für die Nullteilerfreiheit:

\bar{a} \cdot \bar{b} = \bar{0}

Daraus folgt doch dass

\bar{b} = \bar{0}

oder

\bar{a} = \bar{0}

Daraus folgt doch, dass sich entweder a oder

b

restlos teilen lassen. Und wie gehts weiter?

Nick2344 aktiv_icon

16:57 Uhr, 12.11.2017

Kann jmd weiterhelfen?

RomanGa aktiv_icon

17:33 Uhr, 27.12.2017

Hallo pwmeyer, ich habe deinen Satz vervollständigt, aber ich komme trotzdem nicht weiter:

\overline{a} * \overline{b} = 0 \Leftrightarrow a * b = 0 + k * p, k \in Z

(Gl. I)
Das führt mich aber nicht weiter, denn ich soll zeigen:

(\overline{a} * \overline{b} = 0 \Rightarrow \overline{a} = 0 o d e r \overline{b} = 0) \Rightarrow (p ∣ a * b \Rightarrow p ∣ a u n d p ∣ b)

Zum Beispiel so:

p ∣ a * b \Rightarrow a * b = k * p (G l . I)

\Rightarrow \overline{a} * \overline{b} = 0

\Rightarrow \overline{a} = 0 o d e r \overline{b} = 0

\Rightarrow p ∣ a o d e r p ∣ b

Zu zeigen ist aber p | a *und* p | b . Ich wäre für einen vollständigen Beweis dankbar.

michaL aktiv_icon

18:11 Uhr, 27.12.2017

Hallo,

man kann die Originalaussage verschärfen zur Äquivalenz:

ℤ_{p}

nullteilerfrei

\overset{}{\Leftrightarrow}

p \in ℙ

Leicht ist die im Original nicht verlangte Rückrichtung "

\Rightarrow

".

Die andere Richtung würde ich indirekt erledigen.
Zu zeigen:

ℤ_{p}

nullteilerfrei

\Rightarrow

p \in ℙ

Statt dessen:

p \notin ℙ \Rightarrow ℤ_{p}

nicht nullteilerfrei.

Ist nämlich

p = a \cdot b

mit

1 < a, b < p

(echtes Produkt), so folgt aus

p = a b

im Ring

ℤ_{p}

\overline{a} \cdot \overline{b} = \overline{p} = \overline{0}

, aber offenbar wegen

1 < a, b < p

weder

\overline{a} = \overline{0}

noch

\overline{b} = \overline{0}

.

Mfg Michael

RomanGa aktiv_icon

18:50 Uhr, 27.12.2017

Vielen Dank, Michael. Bleibt also noch zu zeigen, und ich hoffe, mein Beweis stimmt:
p ist Primzahl => Z/pZ ist nullteilerfrei.
Z/pZ ist nicht nullteilerfrei => p ist keine Primzahl.
Z/pZ ist nicht nullteilerfrei => Es gibt ein Paar

\overline{a}, \overline{b} u n g l e i c h \overline{0} m i t \overline{a} * \overline{b} = \overline{0}

. Dann ist aber

\overline{a} * \overline{b} = \overline{0} = \overline{p}

, also p keine Primzahl.
(

\overline{a} o d e r \overline{b}

kann auch nicht

\overline{1}

sein, denn sonst wäre

\overline{b} = \overline{0}

, bzw.

\overline{a} = \overline{0}

, was ausgeschlossen war.)

michaL aktiv_icon

20:02 Uhr, 27.12.2017

Hallo,

du folgerst aus

\overline{a} \cdot \overline{b} = \overline{0} = \overline{p}

vermutlich direkt

a b = p

?!?
Das ist aber nicht ok, du kannst nur

a b = k p

schließen.
Wenn ihr Primzahlen (Primelemente, um genauer zu sein) durch:

p ∣ a b \Rightarrow p ∣ a \lor p ∣ b

definiert habt, dann bist du fertig, da

p ∣ b \overset{}{\Leftrightarrow} b \equiv 0

mod

p

(auch unabhängig von

p \in ℙ

oder nicht).

Alternativ und unter der Voraussetzung, dass ihr den Satz von Bezout schon hattet, folgt aus

p \in ℙ

und für

1 \leq a < p

ggT (a, p) = 1 \Rightarrow

(und das ist das Lemma von Bezout!)

\exists v, w : 1 = v a + w p \Rightarrow p ∣ (1 - v a)

, d.h.

v a \equiv 1

mod

p

.
Daraus folgt, dass alle Elemente in

ℤ_{p}^{*}

invertierbar sind.
Und da Elemente nicht gleichzeitig Nullteiler UND invertierbar sein können, bist du fertig.

Mfg Michael

RomanGa aktiv_icon

21:07 Uhr, 27.12.2017

Vielen Dank. Nein, den Satz von Bezout kenne ich nicht. Aber ich ahne schon: Je weiter man in die Materie einsteigt, desto mehr Neues um nicht zu sagen Geheimnisvolles lernt man kennen. :-)

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