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Beweis Polynommenge Untervektorraum

Universität / Fachhochschule

Tags: Untervektorräume

gotnoidea aktiv_icon

19:08 Uhr, 24.11.2014

Hallo,

folgende Aufgabe:

Sei $ℝ [x]$ der Vektorraum aller reellen Polynome in der Variable $x$ . Sei $ℝ_{n} [x]$ die Menge der reellen Polynome vom Grad $\leq n$ (für $n \in ℕ_{0})$ . Zeigen Sie, dass $ℝ_{n} [x]$ ein Untervektorraum von $ℝ [x]$ ist.

Wie kann ich das beweisen? Ich finde keinen Ansatzpunkt..

Wenn ich $ℝ [x]$ explizit aufschreibe:
$ℝ [x] = {p | p (x) = a_{0} + a_{1} x + . . + a_{n} x^{n} + a_{n + m} x^{n + m}, a_{i} \in ℝ, i \in [1, n], n \in ℕ_{0}, m \in ℕ \land m \in [1, \infty)}$

$ℝ_{n} [x]$ hätte dann doch folgendes Aussehen: ${q | q (x) = a_{0} + a_{1} x + . . + a_{n} x^{n}, a_{i} \in ℝ, i \in [1, n], n \in ℕ_{0}}$

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

anonymous

19:45 Uhr, 24.11.2014

Hey,

so wie ich hier $R [x]$ verstanden habe, ist das die Menge aller Polynome in R. Wieso also hört die Menge bei Grad $n$ auf, wenn Du sie explizit aufschreibst?

Beste Grüße

gotnoidea aktiv_icon

19:49 Uhr, 24.11.2014

Hey Allrik,

Danke für den Hinweis..ist es jetzt besser oder ist es generell unklug, die Menge explizit aufschreiben zu wollen?

LG

anonymous

19:52 Uhr, 24.11.2014

Hey,

naja, es kann meistens hilfreich sein, Mengen explizit aufzuschreiben, um sich einfach eine Vorstellung machen zu können.

Du hast ja in der Menge Rn $[$ x] alle Polynome $p (x)$ vom Grad kleiner oder gleich $n$ . Jetzt musst Du eigentlich auf diese Menge nur noch das Unterraumkriterium nachrechnen und hast gezeigt, dass es ein Unterraum von $R [x]$ ist.

Setzt natürlich voraus, dass Du die Unterraumaxiome kennst ;-)

Grüße

PS.: Wieso hörst Du bei der 2. Menge bei Grad $n - 1$ auf? Soll doch bis $n$ gehen oder nicht?

gotnoidea aktiv_icon

20:05 Uhr, 24.11.2014

Hey Allrik,

danke! Die Unterraumkriterien sind mir bekannt..bei "konventionellen" Vektoren kann ich mir den Hergang auch vorstellen..aber hier..

$(i)$ Nullvektor vorhanden
(ii) $a + b \in ℝ_{n} [x] \forall a, b \in ℝ_{n} [x]$
(iii) $k \cdot a \in ℝ_{n} [x] \forall k \in ℝ$

Dass zwei Polynome gleichen Grades bzw. des Grades kleiner gleich $n$ summiert erneut Polynome des Grades kleiner gleich $n$ ergeben, ist mir intuitiv klar. Aber wie schreibe ich das formal auf? Das selbe Problem habe ich mit dem "Nullvektor" (der ja letztenendes das Polynom mit $a_{0} = 0,$ also $q (x) = 0, q \in ℝ_{n} [x]$ beschreibt, oder?)

LG

$P . S . :$ ist korrigiert, danke.. ;-)

anonymous

20:08 Uhr, 24.11.2014

Hey,

Du kannst einfach mit Pünktchen schreiben. Normalerweise ist das schon formal genug. Wenn Du mit n-Dimensionalen Vektoren rechnest, schreibst Du ja auch eine Vektorklammer mit dem ersten und dem n-ten Element auf.

Aber wie gesagt: "normalerweise..."

Ich weiß ja nicht, was von Euch erwartet wird.

Grüße

gotnoidea aktiv_icon

20:11 Uhr, 24.11.2014

Nagut aber jetzt habe ich ja erstmal nur die Unterraumkriterien genannt bzw. für meine Menge der Polynome des Grades $\leq n$ postuliert.. Deren Gültigkeit muss ich nun irgendwie beweisen, daran haperts bei mir..

LG

anonymous

20:16 Uhr, 24.11.2014

"Postuliert" ist hier das flasche Wort. Du darfst nichts voraussetzten, was Du nicht bewiesen hast. Und das Unterraumkriterium lässt sich beweisen:

Du hast zwei Polynome:

$p (x) = k (1) + k (2) \cdot x + . .$ . $+ k (n) \cdot x^{n}$

$q (x) = m (1) + m (2) \cdot x + . .$ . $+ m (n) \cdot x^{n}$

Und bildest dann die Summe:

$p (x) + q (x) = (k (1) + m (1)) + (k (2) + m (2)) \cdot x + . .$ . $+ (k (n) + (m (n)) \cdot x^{n}$

Und stellst fest, dass das auch ein Polynom vom Grad $\leq n$ ist.

Fehlt nur noch die Abgeschlossenheit bzg. der Multiplikation...

gotnoidea aktiv_icon

20:34 Uhr, 24.11.2014

Also nochmal zusammengefasst:

$ℝ_{n} [x] = {q | q (x) = \sum_{k = 0}^{n} a_{k} x^{k}, a_{k} \in ℝ, n \in ℕ}$

$z . Z . :$

(i) $a + b \in ℝ_{n} [x] \forall a, b \in ℝ_{n} [x]$
(ii) $k \cdot a \in ℝ_{n} [x] \forall a \in ℝ_{n} [x], k \in ℝ$

$(i)$ Sei $a = \sum_{i = 0}^{n} a_{i} x^{i}, b = \sum_{j = 0}^{n} b_{j} x^{j} a, b \in ℝ_{n} [x]$
$a + b = a_{0} + b_{0} + (a_{1} + b_{1}) x + ... + (a_{n} + b_{n}) x^{n} \in ℝ_{n} [x]$

(ii) Sei $a = \sum_{i = 0}^{n} a_{i} x^{i}$ und $k \in ℝ$

Dann ist $k \cdot a = \sum_{i = 0}^{n} (k \cdot a_{i}) x^{i} = k \cdot a_{0} + k \cdot a_{1} x + ... + k \cdot a_{n} x^{n} \in ℝ_{n} [x]$

Reicht das? Wie würde ich das Vorhandensein des Nullvektors und die Ungleichheit mit der leeren Menge zeigen?

Danke und LG

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