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Beweis Produktregel Laplace Operator

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angewandte lineare Algebra

Skalarprodukte

Tags: Angewandte Lineare Algebra, Skalarprodukt

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17:24 Uhr, 14.07.2017

Hallo,

ich möchte gerne die Produktregel des Laplaceoperators beweisen, also:

Δ f g = f Δ g + g Δ f + 2 \nabla f \cdot \nabla g

Das möchte ich allerdings ohne die Summenformel vom Laplaceoperator!

Idee:
div(grad(

f g

)) = div(

g \nabla f + f \nabla g

) = ... =

Δ f g = f Δ g + g Δ f + \nabla g \cdot d i v (g) + \nabla g \cdot d i v (f)

Das kann offensichtlich nicht stimmen da es ein Vektor ergiebt und kein Skalar wie bei der richtigen Lösung beim Skalarprodukt

Wie kann das sein bzw was mache ich falsch?

Lg

Hierzu passend bei OnlineMathe:
Ableitungsregeln (Mathematischer Grundbegriff)

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:

Skalarprodukt

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19:06 Uhr, 14.07.2017

Δ (f \cdot g) = \nabla (\nabla (f \cdot g)) = \nabla (f \cdot \nabla g + g \cdot \nabla f) = \nabla (f \cdot \nabla g) + \nabla (g \cdot \nabla f)

= \nabla (f) \cdot \nabla (g) + f \cdot \nabla \nabla g + \nabla (g) \cdot \nabla (f) + g \cdot \nabla \nabla f

= f \cdot Δ g + g \cdot Δ f + 2 \cdot \nabla f \cdot \nabla g

Du darfst Divergenz und Gradient einfach nur nicht als zwei verschiedene Dinge betrachten.

Gradient = Nabla

\cdot x, x \in ℝ

Divergenz = Nabla

\cdot x, x \in ℝ^{n}

Ich habe deswegen Gradient und Divergenz nie als zwei verschiedene Operationen betrachtet. Für mich ist es einfach nur die Multiplikation mit Nabla

= \nabla

Und da Nabla ein Vektor ist, ist die Multiplikation mit einem Skalar ein Vektor, und die Multiplikation mit einem Vektor ein Skalar.

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