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Beweis Projektion

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Lineare Abbildungen

Vektorräume

Tags: Identiät, Lineare Abbildungen, Projektion, Vektorraum

oklmeer

20:55 Uhr, 21.11.2010

Hallo! Ich soll folgende Aussage beweisen, weiß aber leider nicht wie ich das machen soll:

K

sei ein Körper mit Char

\neq 2, V

ein Vektorraum über

K

und

f

eine lineare Abbildung von

V \to V

.
Zeigen Sie:

f \circ f =

\Rightarrow g := \frac{1}{2} (f +

id) ist Projektion.

Ich weiß eine Projektion ist eine idempotente Abbildung (also müsste in dem Beispiel

g \circ g = g

sein) Ich hab schon alles mögliche aufgeschrieben, also wie

g \circ g

aussieht usw. und komm leider auf keinen grünen Zweig. Kann mir vlt jemand sagen, wie das zu beweisen ist?? Danke schonmal!!

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich bräuchte bitte einen kompletten Lösungsweg." (setzt voraus, dass der Fragesteller alle seine Lösungsversuche zur Frage hinzufügt und sich aktiv an der Problemlösung beteiligt.)

michaL aktiv_icon

21:32 Uhr, 21.11.2010

Hallo,

komplette Lösungswege muss mansich selbst erarbeiten.

Gehe wie folgt vor: Versuche

g (g (x)) = g (x)

zu beweisen. (Dabei sei

x \in V

beliebig.

Verwende dazu, dass

f

linear ist und

f \circ f = i d

gilt.
Das heißt insbesondere, dass

f (x + y) = f (x) + f (y)

gilt für beliebige

x, y \in V

bzw.

f (f (x)) = x

.

Das ist nur eine Fleißarbeit.

Mfg Michael

oklmeer

14:50 Uhr, 22.11.2010

Oh kompletten Lösungsweg wollt ich ja gar nicht, ich hab lieber kleine Schubser in die richtige Richtung, dann versteh ichs wenigstens richtig, muss mich wohl verklickt haben :-)

Naja egal, ich hab jetzt mal

g (g (x)) = g (x)

so aufgeschrieben:

(\frac{1}{2} (f +

id))

(\frac{1}{2} (f +

id))

(x) = \frac{1}{2} (f +

id)

(x)

Dann hab ich mal das id durch

f (f (x))

ersetzt und das

x

reingebracht (darf ich das?), und da sowas stehen:

(\frac{1}{2} (f +

id))

(\frac{1}{2} (f (x) + f (f (x)))) = \frac{1}{2} (f (x) + f (f (x)))

ist das einigermaßen ok so?
Wenn ja, kann ich jetzt auf der linken Seite das irgendwie multiplizieren?? oder die Linearität von

f

da reinbringen? Dann wäre ja

f (x) + f (f (x)) = f (x + f (x))

??
Irgendwie sehe ich da den Zusammenhang nicht, also würde mich freuen, wenn ich noch einen Tipp bekommen würde :-)
DANKE!!

michaL aktiv_icon

18:12 Uhr, 22.11.2010

Hallo,

von welchem Ende bei

g (g (x))

du anfängst (ob von innen oder von außen), ist eigentlich egal.
Ich sehe nur einfach ein bisschen Unsicherheit im Umgang. Deshalb mal teilweise:

g (g (x)) = g (1 / 2 (f + i d) (x)) = 1 / 2 g (f (x) + x) = 1 / 2 g (f (x)) + 1 / 2 g (x) = \dots

Klar, wie das mit der Linearität funktioniert?

Mfg Michael

oklmeer

19:01 Uhr, 22.11.2010

Ok ich glaub jetzt hab ichs!!

\frac{1}{2} g (f (x)) + \frac{1}{2} g (x) = \frac{1}{2} (\frac{1}{2} (x + f (x))) + \frac{1}{2} (\frac{1}{2} (f (x) + x)) = \frac{1}{2} (f (x) + x)) = g (x)

Vielen Dank für deine Hilfe!!!

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