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Beweis Satz von Dini zu Fourier-Reihen

Universität / Fachhochschule

Tags: absolute Konvergenz, Fourierreihe, Konvergenz, Partialsummen, Uneigentliche Integrale

TtRatKb aktiv_icon

16:14 Uhr, 21.11.2018

Ich bin im Moment im Proseminar zu Analysis und stehe kurz vor der Ausarbeitung und anschließenden Präsentation. Ich habe bereits eine Frage zu einem anderen Beweis gestellt und das hier ist der Satz, der darauf folgt. Das R hier soll das Symbol für die Menge der Regelfunktionen sein, doch der Befehl funktioniert leider nicht.

Satz: Es seien

f \in ℜ [- π, π]

und

x \in ℝ

, sodass die uneigentlichen Integrale

\int_{0 ↓}^{π} \frac{\tilde{f} (x - t) - \tilde{f} (x^{-})}{t} d t

und

\int_{- π}^{0 ↑} \frac{\tilde{f} (x - t) - \tilde{f} (x^{+})}{t} d t

absolut konvergieren. Dann gilt:

\sum_{k = - \infty}^{\infty} \hat{f} (k) e^{i k x} = f^{*} (x)

Dazu habe ich folgendes herausgefunden:

(1)

\hat{f} (x) = \frac{1}{2 π} \int_{- π}^{π} f (x) e^{- i k x} d x

(2)

f^{*} (x) = \frac{1}{2} (\tilde{f} (x^{+}) + \tilde{f} (x^{-}))

(3) Partialsummen einer Fourierreihe:

s_{n} (f; t) := \sum_{k = - n}^{n} \hat{f} (k) e^{i k t}, t \in ℝ

(4)

s_{n} (f; t) = \frac{1}{2 π} \int_{- π}^{π} D_{n} (t - s) f (s) d s, t \in ℝ

mit geraden, stetigen und

2 π

-periodischen Dirichlet-Kernen

D_{n}

(5)

D_{n} (u) = \frac{s i n ((2 n + 1) \frac{u}{2}}{s i n \frac{u}{2}}, u \in ℝ (D_{n} (2 k π) = 2 n + 1)

(6)

\frac{1}{2 π} \int_{- π}^{π} D_{n} (u) d u = \frac{1}{2 π} \int_{- π}^{π} \sum_{k = - n}^{n} e^{i k u} d u = 1

(7)

lim_{s \to 1} (\frac{s i n (s)}{s}) = 1

(8)

f \in L_{1} [a, b], lim_{∣ λ ∣ \to \infty} (\int_{a}^{b} f (s) e^{- i λ s} d s) = 0

Das sind aber so viele Informationen, dass ich gar nicht weiß, wo ich anfangen soll und vollkommen überfordert bin. Auch habe ich leider das Thema mit den Partialsummen nie komplett verstanden und von den Dirichlet-Kernen höre ich zum ersten Mal.

Ich wäre froh über ein paar Tipps!

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

tabascolecker aktiv_icon

13:37 Uhr, 03.05.2020

hi, ich mache den beweis auch grade, hast du den fertig bekommen? bin grade auch etwas am verzeifeln

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