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Beweis Satz von Rolle

Universität / Fachhochschule

Differentiation

Funktionen

Stetigkeit

Tags: Differentiation, Funktion, Stetigkeit

 
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capstrovor

capstrovor aktiv_icon

13:38 Uhr, 13.06.2018

Antworten
Hallo,
ich soll den Satz von Rolle Beweisen.

Ich bin das folgendermaßen angegangen:

Widerspruchsannahme:
x(a,b):f´(x)>0x(a,b):f´(x)<0

x(a,b):f(x)>f(a)f(x)<f(a)

f(a)f(b)

In den Lösungen wird mit der Existenz einer Extremalstelle argumentiert.
Meine Frage:
Ist mein Beweis auch richtig, oder fordere ich hier indirekt eine stetige Differenzierbarkeit?

Danke für die Hilfe,
LG Samuel.

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."
Hierzu passend bei OnlineMathe:
Stetigkeit (Mathematischer Grundbegriff)
Funktion (Mathematischer Grundbegriff)

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:
 
Antwort
Atlantik

Atlantik aktiv_icon

16:26 Uhr, 13.06.2018

Antworten
"Meine Frage:
Ist mein Beweis auch richtig, oder fordere ich hier indirekt eine stetige Differenzierbarkeit?"

Dazu kann ich nichts sagen.

Ich würde es so beweisen:

f(x)=(x-a)(x-b)=x2-ax-bx+ab, wobei a<b

f ´ (x)=2x-a-b

f ´ (a)=2a-a-b=a-bmT1<0

f ´ (b)=2b-a-b=b-amT2>0

Somit gibt es bei f(x) eine Stelle mit Tangentensteigung m=0

mfG

Atlantik
capstrovor

capstrovor aktiv_icon

16:46 Uhr, 13.06.2018

Antworten
Aber das würde doch heißen, dass die Ableitung bei a immer negativ ist. Das muss ja nicht immer sein?

Sorry komm bei deiner Rechnung nicht ganz mit, kannst du das ausführlicher erklären?

Danke, Lg
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Atlantik

Atlantik aktiv_icon

16:52 Uhr, 13.06.2018

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Mein f(x) ist nach oben geöffnet und somit ist die Tangentensteigung in N1(a|0) immer negativ und in N2(b|0) immer positiv. Da f(x) stetig ist, muss es eine Stelle geben, wo m=0 ist (Minimum).

mfG

Atlantik
Antwort
pwmeyer

pwmeyer

17:20 Uhr, 13.06.2018

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Hallo,

Du forderst Stetigkeit der 1. Ableitung, weil sonst könnte ja f'>0 auf [a,z] und f'<0 auf ]z,b] sein (mit einem Sprung).

Gruß pwm
capstrovor

capstrovor aktiv_icon

20:16 Uhr, 13.06.2018

Antworten
@atlantik

Aber dann ist es ja keine allgemein gültige Aussage.
Der Beweis soll ja für jede stetige, differenzierbare Funktion gelten.
Ich verstehe den Beweis schon, aber du beschränkst dich ja auf Funktionen die "oben offen" (also konvex) sind.
(Außerdem, wenn du f(x) = (x-a)*(x-b) "forderst", dann wäre ja mit f(x) immer ein Polynom 2. Grades mit Nullstellen bei a und b gemeint)

@pwmeyer
Ja, das hab ich mir gedacht (befürchtet).
Vielen Dank für die Hilfe.