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Beweis Sets diskrete Mathematik

Universität / Fachhochschule

Tags: Beweis, Beweisführung, Diskrete Mathematik, Mathematik

 
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anonymous

anonymous

11:48 Uhr, 17.10.2020

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Hallo zusammen

Ich habe eine Frage und zwar zur folgenden Aufgabe:

Wir haben 3 sets. Beweise, dass es für alle sets X und Y ein set Z gibt, so dass:

X=(Y\Z)∪(Z\Y)

Ich habe mir einmal die Definitionen rausgeschrieben:

Definition \ : {x∈B∣x∉A}

Wie gehe ich nun beim Beweisen vor? Ich hoffe mir kann jemand weiterhelfen!

Vielen Dank!

Grüsse

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Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich bräuchte bitte einen kompletten Lösungsweg." (setzt voraus, dass der Fragesteller alle seine Lösungsversuche zur Frage hinzufügt und sich aktiv an der Problemlösung beteiligt.)
Hierzu passend bei OnlineMathe:
Online-Nachhilfe in Mathematik
Antwort
DrBoogie

DrBoogie aktiv_icon

12:54 Uhr, 17.10.2020

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Wenn man Z=(X\Y)∪(Y\X) nimmt (es wird symmetrische Differenz genannt und oft mit XΔY bezeichet), dann gilt X=(Z\Y)∪(Y\Z).

Das beweist man wie fast immer in der Mengentheorie, indem man ein x links nimmt und zeigt, dass es rechts liegt. Und dann umgekehrt.
Z.B. wenn x aus X beliebig ist, dann gilt entweder x∈Y oder x∈X\Y. Im ersten Fall gilt x∈X∩Y, womit x nicht in Z liegen kann. Damit liegt x in Y\Z und dann auch in (Z\Y)∪(Y\Z). Im zweiten Fall liegt x in X\Y und damit in Z. Aber x liegt nicht in Y, damit ist es in Z\Y und dann auch in (Z\Y)∪(Y\Z). So ist die Inklusion X⊂(Z\Y)∪(Y\Z) gezeigt.

Umgekehrt, wenn x aus (Z\Y)∪(Y\Z) ist, dann gilt entweder x∈Z\Y oder x∈Y\Z. Im ersten Fall liegt x nicht in Y, damit auch nicht in Y\X, also muss es in X\Y liegen (sonst würde es nicht in Z sein), also gilt x∈X. Im zweiten Fall liegt x nicht in Z, aber in Y. Wenn jetzt x∉X wäre, dann würde x∈Y\X liegen und damit in Z, was ein Widerspruch ist. Also muss gelten x∈X.
Damit ist die Inklusion (Z\Y)∪(Y\Z)⊂X gezeigt.

Das ist der Beweis.

Jetzt zu der Frage, wie man auf Z kommt. Durch Ausprobieren. Klar ist, dass Z von X und Y anhängen muss und so viele Varianten gibt's auch nicht. Ich hab am Anfang mit X∪Y und X\Y probiert, das hat nicht funktioniert. XΔY war dann der nächste Versuch.

Diese Frage wurde automatisch geschlossen, da der Fragesteller kein Interesse mehr an der Frage gezeigt hat.