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Beweis Siebformel

Universität / Fachhochschule

Inklusion-Exklusion

Tags: Inklusion-Exklusion

Susan243 aktiv_icon

15:52 Uhr, 15.11.2009

Beweisen Sie die Siebformel für zwei Ereignisse, nämlich:

P (A

oder

B) = P (A) + P (B) - P (A

und

B)

für beliebige Ereignisse

A; B

Teilmenge von Ω:

Beweise liegen mir ganz und gar nicht

: (

kann ich das so schreiben??

Induktionsanfang:

p (A 1

oder

A 2) = p (A 1 A 2) + p (A 2 A 1) + p (A 1

und

A 2)

Man beachte, dass rechts disjunkte Mengen stehen.
Daraus folgt wegen

p (A B) = p (A)

−

p (A

und

B)

die Behauptung.

p (A 1

oder

A 2) = p (A 1)

−

p (A 1

und

A 2) + p (A 2)

−

p (A 1

oder

A 2) + p (A 1

und

A 2)

Induktionsvoraussetzung: Behauptung richtig für

n

beliebige Ereignisse.
Induktionsschritt: Wir betrachten Ereignisse

A 1,

. . . , An+1.
Nach Induktionsvoraussetzung gelten die folgenden beiden Gleichungen.

Bild 1

Dies wird eingesetzt in die folgende Gleichung (gilt wegen Induktionsanfang!) und die Behauptung folgt.

Bild 2

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

hagman aktiv_icon

17:08 Uhr, 15.11.2009

Iduktion nützt hier nichts, da es sich nich tum eine Aussage über natürlich eZahlen handelt (insb. brauchen

A, B

usw. keine endlichen Mengen zu sein).
Baachte einfach

A = (A \ B) \cup (A \cap B)

B = (B \ A) \cup (A \cap B)

A \cup B = (A \ B) \cup (A \cap B) \cup (B \ A),

wobei die Mengen rechts disjunkt jeweils sind.

Susan243 aktiv_icon

17:54 Uhr, 15.11.2009

Also würde die Lösung komplett lauten:

Beweisen sie die Siebformel für 2 Ereignisse

P(A∪B)

= P (A) + P (B) -

P(A∩B)

A=(A\B)∪(A∩B)
B=(B\A)∪(A∩B)
A∪B=(A\B)∪(A∩B)∪(B\A)

(A∪B) = (A\B)∪(A∩B)∪(B\A)

= ((A) -

(A∩B))

+

(A∩B)+

((B) -

(A∩B))

= (A) + (B) -

((A∩B)

Mengen sind rechts disjunkt.

ist das jetzt so richtig??? Oder ist was zu viel oder zu wenig????

hagman aktiv_icon

09:33 Uhr, 16.11.2009

Irgendwo sollte in der Argumentation auch

P

auftauchen:

Da die Mengen

A \ B, B \ A

und

A \cap B

paarweise disjunkt sind, folgt

P (A) = P (A \ B) + P (A \cap B)

wegen

A = (A \ B) \cup A \cap B)

P (B) = P (B \ A) + P (A \cap B)

wegen

B = (B \ A) \cup A \cap B)

P (A \cup B) = P (A \ B) + P (B \ A) + P (A \cap B)

wegen

A \cup B = (A \ B) \cup (B \ A) \cup (A \cap B)

.

Kombiniert ergibt sich daraus

P (A \cup B) = P (A \ B) + P (B \ A) + P (A \cap B)

= P (A \ B) + P (A \cap B) + P (B \ A) + P (A \cap B) - P (A \cap B)

= P (A) + P (B) - P (A \cap B)

Jezt, da ich dein erstes Posting über das Wort "Induktion" hinaus lese, sehe ich,dass du als deinen "Induktionsanfang" eiegntlcih sogar schon den kompletten Beweis hingeschrieben hattest

. .

Lyra89 aktiv_icon

20:39 Uhr, 17.11.2009

Warum müssen die Mengen paarweise disjunkt sein?

Lyra89 aktiv_icon

16:13 Uhr, 18.11.2009

Ach mensch...ich hab an die Mengen A und B gedacht..du meinst ja die Mengen A/B , B/A und A /cap B....

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