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Beweis Skalarprodukt mit Verschiebung hermitesch

Universität / Fachhochschule

Skalarprodukte

Tags: hermitesch, Skalarprodukt

shockinator3240 aktiv_icon

13:19 Uhr, 15.09.2022

Hey alle, folgendes Problem!

Zu zeigen ist, dass das Skalaprodukt:

< f, g > = \frac{1}{2 π} \int_{0}^{2 π} \bar{f (x)} g (x) d x

hermitesch ist.

Dabei hat man die Randbedingung:

f (x + 2 π) = e^{2 π i α} f (x)

mit

α \in (0, 1)

,

Wir haben besprochen, dies mittels partielle integration zu lösen somit ergibt sich für mich folgender Lösungsweg:

< f ʺ, g > = - \frac{1}{2 π} \int_{0}^{2 π} \bar{f ʹ (x)} g (x) d x + {[\bar{f ʹ (x)}, g (x)]}_{0}^{2 π} =

\frac{1}{2 π} \int_{0}^{2 π} \bar{f (x)} g ʺ (x) d x + {[\bar{f ʹ (x)}, g (x)]}_{0}^{2 π} - {[\bar{f (x)}, g ʹ (x)]}_{0}^{2 π} =

- \bar{f (2 π)} g ʹ (2 π) + \bar{f (0)} g ʹ (0) + \bar{f ʹ (2 π)} g (2 π) - \bar{f ʹ (0)} g (0)

Genau beim letzten schritt hier hänge ich, die Terme sollten sich wegkürzen mittels benützen der Randbedingung jedoch verstehe ich nicht ganz wie ich die Randbedingung einsetzen soll. Der

e^{2 π i α}

Faktor verwirrt mich, ohne dem wäre es gleich ersichtlich, dass sich die Terme gegenseitig kürzen. Vielen Dank schonmal!

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich bräuchte bitte einen kompletten Lösungsweg." (setzt voraus, dass der Fragesteller alle seine Lösungsversuche zur Frage hinzufügt und sich aktiv an der Problemlösung beteiligt.)

Hierzu passend bei OnlineMathe:

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:

Skalarprodukt

Shipwater aktiv_icon

10:19 Uhr, 16.09.2022

Da sind ein paar Tippfehler dabei, bitte nochmal überprüfen. Der

e^{2 π i α}

Faktor macht doch keine Probleme, weil er einmal komplex konjugiert wird, was

e^{- 2 π i α}

ergibt und

e^{2 π i α} \cdot e^{- 2 π i α} = 1

. Man spricht hierbei übrigens von quasiperiodischen Randbedingungen.

shockinator3240 aktiv_icon

13:16 Uhr, 16.09.2022

Glatt übersehen, danke dir für die Antwort!

Shipwater aktiv_icon

13:22 Uhr, 16.09.2022

Keine Ursache.

HAL9000

14:58 Uhr, 16.09.2022

@shockinator3240

Mir kommt es etwas seltsam vor, was du hier unter der Eigenschaft "hermitesch" verstehst:

Ein Skalarprodukt ist an sich von Haus aus eine hermitesche Sesquilinearform, d.h.,

〈 f, g 〉 = \bar{〈 g, f 〉}

.

Du scheinst darunter aber sowas wie

〈 f', g 〉 = - 〈 f, g' 〉

o.ä. zu verstehen, wie man es von Distributionen kennt. Dass man dergleichen auch als "hermitesch" bezeichnet, ist mir wie gesagt neu.

Shipwater aktiv_icon

15:16 Uhr, 16.09.2022

Richtig, ich würde das auch eher als Symmetrie des Operators

L u = u''

(bezüglich dem angegebenen Skalarprodukt) ansehen, wobei der Domain ausgestattet ist mit quasiperiodischen Randbedingungen.

Gruß Shipwater

shockinator3240 aktiv_icon

13:21 Uhr, 17.09.2022

Hmm also wir hätten es so in der Übung gemacht und es sollte passen, aber ich hätte eine weitere Fragen, angenommen ich müsste die Eigenfunktion berechnen wie gehe ich das an? Ich habe ja nur eine Randbedingung gegeben, bräuchte ich nicht 2?

Für die Eigenfunktion muss ich

f ʺ - μ^{2} f = 0

lösen also

f (x) = c_{1} * e^{i μ x} + c_{2} * e^{- i μ x}

, für x = 0 setze ich wie folgt ein:

f (x = 0 + 2 π) = f (2 π) = c_{1} * e^{i μ 2 π} + c_{2} * e^{- i μ 2 π} = c_{1} * e^{i μ 2 π} * e^{2 i π α} + c_{2} * e^{- i μ 2 π} * e^{2 i π α}

, stimmt dies soweit mit einsetzen der RB? Bin nämlich verwirrt bei der Rb ob

f (x + 2 π) = e^{2 π i α} f (x)

, ob man bei dem

f (x)

mit dem Faktor

e^{2 π i α}

, das ursprüngliche x also, x = 0 nimmt oder das neue also

f (x = 0 + 2 π)

Shipwater aktiv_icon

16:28 Uhr, 17.09.2022

Nein, da ist sicher was durcheinander gekommen. Meistens ist man gut beraten einfach den Originallaut der Aufgabe zu posten. Bitte nachholen! Bezüglich dem neuen Problem: Die Quasiperiodizität beinhaltet auch eine Forderung an die Ableitung, also

f (2 π) = f (0) e^{2 π i α}

und

f' (2 π) = f' (0) e^{2 π i α}

. In

f (x + 2 π) = f (x) e^{2 π i α}

setzt du natürlich überall

x = 0

ein, das ergibt dann

f (2 π) = f (0) e^{2 π i α}

. Bei deiner Rechnung passt das noch nicht.

shockinator3240 aktiv_icon

16:43 Uhr, 18.09.2022

Alles klar! Aber die Angabe ist an sich so wie ich es widergegeben habe, mit dem genannten Skalarprodukt und der b teil der Angabe fragt nach der Eigenfunktion und dem Eigenwert von

\frac{d^{2}}{d x^{2}}

Shipwater aktiv_icon

09:44 Uhr, 19.09.2022

In Zukunft bitte den Originallaut der Aufgabe posten :-)

shockinator3240 aktiv_icon

14:24 Uhr, 19.09.2022

Tut mir Leid werde ich nächstes mal genau so machen! Wenn ich nun die Eigenfunktion berechnen möchte setze ich

f (2 π) = f (0) * e^{2 i π α}

somit erhalte ich:

f (2 π) = c_{1} * e^{i μ 2 π} + c_{2} * e^{- i μ 2 π} = f (0) * e^{2 i π α} = c_{1} * e^{i α 2 π} + c_{2} * e^{- i α 2 π}

Also muss ja

α = μ

gelten und somit ist die Eigenfunktion

e^{i μ x}

Shipwater aktiv_icon

09:34 Uhr, 20.09.2022

f (0)

hast du falsch ausgerechnet, es gilt

f (0) = c_{1} + c_{2},

also übersetzt sich

f (2 π) = f (0) e^{2 π i α}

c_{1} e^{2 π i μ} + c_{2} e^{- 2 π i μ} = (c_{1} + c_{2}) e^{2 π i α}

. Nun brauchst du noch eine zweite Gleichung, die kommt wie gesagt aus

f' (2 π) = f' (0) e^{2 π i α}

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