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Beweis Skalarprodukt von Kreuzprodukten

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Sonstiges

Tags: Epsilon-Tensor, Levi-Civita-Symbol

anonymous

00:28 Uhr, 20.05.2011

Hallo, wie kann ich mithilfe des total antisymmetrischen

ε -

Tensors die folgende Identität beweisen?

(\vec{a} \times \vec{b}) \cdot (\vec{c} \times \vec{d}) = (\vec{a} \cdot \vec{c}) (\vec{b} \cdot \vec{d}) - (\vec{a} \cdot \vec{d}) (\vec{b} \cdot \vec{c})

Grüße
combinatori

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

lepton

01:03 Uhr, 20.05.2011

1. Sich über die Definition des Levi-Civita-Symbols im klaren sein.

\Rightarrow

totale Antisymmetrie (VZW)
2. Es gilt für ein Rechtsystem von Einheitsvektoren:

({\vec{e}}_{i} \times {\vec{e}}_{j}) = ε_{i j k} {\vec{e}}_{k} \equiv \sum_{k = 1}^{3} ε_{i j k} {\vec{e}}_{k}

3. Alternativ kann man auch mithilfe der Eigenschaft des LCS vorgehen

\Rightarrow \sum_{i = 1}^{3} ε_{i j k} ε_{i m n} = δ_{j m} δ_{k n} - δ_{j n} δ_{k m},

dazu die Definition der Kroneckerdelta

δ_{i j}

anwenden

anonymous

21:45 Uhr, 21.05.2011

Ich versuche es zwar mit der Definition und der Eigenschaft des

ε -

Tensors, aber komme immer wieder bei den Indices durcheinander.

lepton

13:49 Uhr, 22.05.2011

Ich denke, dass ich die Definition des LCS nicht anschreiben brauche, da Wikipedia.
Vorgehensweise zuerst die Definiton und dann die Eigenschaft des LCS anwenden:

Nach Definition folgt:

(\vec{a} \times \vec{b}) \cdot (\vec{c} \times \vec{d}) = (\sum_{i, j, k = 1}^{3} ε_{i j k} a_{j} b_{k} {\vec{e}}_{i}) \cdot (\sum_{l, m, n = 1}^{3} ε_{l m n} c_{m} d_{n} {\vec{e}}_{l}) = \sum_{i, j, k, l, m, n = 1}^{3} ε_{i j k} a_{j} b_{k} {\vec{e}}_{i} ε_{l m n} c_{m} d_{n} {\vec{e}}_{l}

= \sum_{j, k, l, m, n = 1}^{3} ε_{l j k} ε_{l m n} a_{j} b_{k} c_{m} d_{n} \Rightarrow

(Eigenschaft)...

= \sum_{j, k, m, n = 1}^{3} (δ_{j m} δ_{k n} - δ_{j n} δ_{k m}) a_{j} b_{k} c_{m} d_{n} = \sum_{j, k, m, n = 1}^{3} (δ_{j m} a_{j} c_{m} δ_{k n} b_{k} d_{n} - δ_{j n} a_{j} d_{n} δ_{k m} b_{k} c_{m})

= \sum_{j, k = 1}^{3} (a_{j} c_{j} b_{k} d_{k} - a_{j} d_{j} b_{k} c_{k}) = \sum_{j = 1}^{3} \sum_{k = 1}^{3} a_{j} c_{j} b_{k} d_{k} - \sum_{j = 1}^{3} \sum_{k = 1}^{3} a_{j} d_{j} b_{k} c_{k}

= (\vec{a} \cdot \vec{c}) (\vec{b} \cdot \vec{d}) - (\vec{a} \cdot \vec{d}) (\vec{b} \cdot \vec{c}) q . e . d

.
Hinweis: Achte hierbei auch auf die Einsteinsche Summenkonvention, die besagt, dass über gliech auftrende Indizes aufsummiert wird.
Als Beispiel zum Verständnis der Definition des LCS wird explizit die erste Komponente des Vektorprodukts

(\vec{a} \times \vec{b})

gerechnet.

\Rightarrow {(\vec{a} \times \vec{b})}_{1} = ε_{i j 1} a_{i} b_{j} = ε_{231} a_{2} b_{3} + ε_{321} a_{3} b_{2} \Rightarrow {(\vec{a} \times \vec{b})}_{1} = (+ 1) a_{2} b_{3} (- 1) a_{3} b_{2}

anonymous

18:58 Uhr, 22.05.2011

Vielen Dank für die ausführliche Antwort.
Ich kann zwar die Vorgehensweise mit den ganzen Indices immer noch nicht ganz nachvollziehen, aber ich werde das alles noch in Ruhe durchgehen.
Einsteinsche Summenkonvention kenne ich, da heben sich zwei gleiche Indices auf bzw. über den wird aufsummiert.

Viele Grüße
combinatori

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