Mathematik online lernen im Mathe-Forum. Nachhilfe online

Startseite » Forum » Beweis Stetigkeit ln x

Beweis Stetigkeit ln x

Universität / Fachhochschule

Funktionen

Stetigkeit

Tags: Funktion, Stetigkeit

Prahlehans aktiv_icon

19:59 Uhr, 01.12.2009

Meine Aufgabe:

Untersuchen Sie folgende Funktionen auf gleichmäßige Stetigkeit:

a) ln

x

im Intervall

[a, \infty)

a > 0

b) ln

x

in ganz

ℝ_{> 0}

\frac{x}{1 + x^{2}}

ℝ

Hinweis zu a): Nach Beweis Übung 5 gilt:

1 + x \leq e^{x}

\forall x \in ℝ

.

Jo, als Definition gleichmäßiger Stetigkeit hab ich:
Eine Funktion

f : D \to ℝ

heißt gleichmäßig stetig, genau dann wenn:

\forall ε > 0 \exists δ > 0 \forall a \in D : ∣ x - a ∣ < δ \Rightarrow ∣ f (x) - f (a) ∣ < ε

Nur weiß ich jetzt nicht, wie ich die Definition geeignet bzw. geschickt anwende um es zu zeigen, bzw. zu widerlegen...

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich bräuchte bitte einen kompletten Lösungsweg." (setzt voraus, dass der Fragesteller alle seine Lösungsversuche zur Frage hinzufügt und sich aktiv an der Problemlösung beteiligt.)

Hierzu passend bei OnlineMathe:
Funktion (Mathematischer Grundbegriff)
Stetigkeit (Mathematischer Grundbegriff)

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:

Einführung Funktionen

hagman aktiv_icon

10:19 Uhr, 02.12.2009

Wenn wir unser

δ

schon *hätten*, könnten wir sagen:
Seien

x, y \in [a, \infty)

mit

| x - y | < δ,

dann gilt

| 1 - \frac{y}{x} | = \frac{| x - y |}{x} \leq \frac{| x - y |}{a} < \frac{δ}{a},

also

\frac{y}{x} < 1 + \frac{δ}{a}

.
Ebenso

\frac{x}{y} a 1 + \frac{δ}{a},

also

\frac{1}{1 + \frac{δ}{a}} < \frac{y}{x} < 1 + \frac{δ}{a}

.

Wir wollen erreichen, dass dann

| ln (y) - ln (x) | < ε

ist

\Leftrightarrow | ln (\frac{y}{x}) | < ε

\Leftrightarrow - ε < ln (\frac{y}{x}) < ε

\Leftrightarrow e^{- ε} < \frac{y}{x} < e^{ε}

Offenbar genügt es also,

δ

so klein zu wählen, dass

1 + \frac{δ}{a} = \frac{a + δ}{a} < e^{ε}

ist (dann ist automatisch auch

e^{- ε} < \frac{1}{1 + \frac{δ}{a}}

erfüllt).
Ein solches

δ > 0

zu gegebenem

ε > 0

zu finden, ist aber kein Problem dank des Tipps.

Prahlehans aktiv_icon

12:43 Uhr, 03.12.2009

Also könnte ich dann z.B.

δ = \frac{ε}{2}

wählen, dann müsste das ja hinhauen, oder?
Kann ich dann in b) analog vorgehen?

Diese Frage wurde automatisch geschlossen, da der Fragesteller kein Interesse mehr an der Frage gezeigt hat.

690032

688894

	Status: nicht eingeloggt	Noch nicht registriert?