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Beweis: Stirling Zahlen (2ter Art) sind unimodal
Universität / Fachhochschule
Tags: Übriges
 
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anonymous 17:52 Uhr, 15.05.2004  |
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Es gilt zu zeigen, dass die Sterling-Zahlen 2ter Art S(n,0), S(n,1),...., S(n,n) unimodal sind für alle n aus den natürlichen Zahlen. Meine Idee war Induktion nach n: d.h.: ich gehe davon aus, dass es ein i gibt, sodass folgendes gilt: S(n,0)<= S(n,1)<=....<=S(n,i)>=S(n,i+1)>=.....>=S(n,n) und muss daraus folgern können, dass es ein j gibt, sodass: S(n+1,0)<= S(n+1,1)<=....<=S(n+1,j)>=S(n+1,j+1)>=.....>=S(n+1,n+1) Ich weiß, dass das gesuchte j entweder wieder i oder i+1 ist. Es ging relativ einfach mithilfe der Induktionshypothese zu zeigen, dass folgendes gilt: S(n+1,0)<= S(n+1,1)<=....<=S(n+1,i) Nun zu meinem eigentlichen Problem: Wie zeige ich mithilfe der I.H., dass das j(=1 oder = i+1) existiert, sodass S(n+1,i) >= S(n+1,i+1) >=.....>= S(n+1,n+1) gilt, oder: S(n+1,i) <= S(n+1,i+1) >= S(n+1,i+2) >=.....>= S(n+1,n+1) Würde mir dies gelingen, so wäre die vollst. Induktion komplett. Ich bleibe an folgenden beiden Punkten immer hängen: *) Fallunterscheidung j=i und j=i+1 und *) durch einsetzen erhalte ich: S(n+1, k) = S(n,k-1) + (k-1) * S(n,k) S(n+1, k+1) = S(n,k) + k * S(n,k+1) Es gelingt mit hier (trotz I.H.) nicht zu zeigen, dass S(n,k-1) + (k-1) * S(n,k) >= S(n,k) + k * S(n,k+1) für alle k > i+1 gilt. Ich fürchte ich habe igendetwas übersehen. Auch frage ich mich ob vielleicht in diesem Fall die vollständige Induktion nicht bzw. nicht schön fruchten wird. Eigentlich kommt mir das Beispiel nicht besonders schwierig vor, doch entweder ich stehe komplett auf der Leitung oder mein Ansatz ist nicht zielführend :-( Ich wäre für ein paar Hinweise und den ein oder anderen Tipp sehr dankbar. Vielen Dank imvoraus! mfG Philipp |
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