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Beweis Teilmengenfamilie + Kartesisches Produkt

Universität / Fachhochschule

Inklusion-Exklusion

Tags: Inklusion-Exklusion, Kartesisches Produkt, Teilmengen, Teilmengenfamilie Durchschnittsmenge

GiveTheCoonACloon

18:58 Uhr, 26.10.2018

Hallo!

Ich bräuchte zu den folgenden Gleichungen ein paar Ansätze, da ich mir unschlüssig darüber bin, wie ich es korrekt aufschreiben bzw. formulieren muss.

"Seien

A, B, C, D

beliebige nichtleere Mengen. Weiterhin sei(

M_{i}) i \in I

eine Familie von Teilmengen von

D, d . h

. für jedes

i \in I

ist

M_{i} \subseteq D

. Zeigen Sie:"

A \times ⋂_{i} M_{i} = ⋂_{i} (A \times M_{i})

Soweit ich verstehe: Auf der linken Seite werden zuerst alle Elemente, die in jeder Menge

M_{i}

vorkommen, zusammengefasst.
Also beispielsweise:
I

:= {1,2,3}, i \in I,

M_{1} := {1, 2},

M_{2} := {1, 3},

M_{3} := {1, 4} :

⋂_{i} M_{i} = {1}

.

Ist das so korrekt?

Und anschließend wird das Kartesische Produkt gebilde: Jedes Element aus der Menge A wird mit jedem Element aus der nun gebildeten Menge

M

verknüpft, damit Tupel eine neue Menge mit Tupeln entsteht.

Auf der rechten Seite wird jedoch zuerst das Kartesische Produkt mit allen Elementen aus A UND allen Elementen aus allen Teilmengen

M_{i}

gebildet. Erst dann werden alle Tupel, die das gleiche Element beinhalten, als Schnittmenge zusammengefasst.

Gehe ich da in die richtige Richtung?
Ich würde den Beweis starten mit etwas wie

"Sei

x

ein beliebiges Element aus A..." und dann eigentlich alles auf die Aussagenlogik transferieren, um von dort aus Umformungen zu betreiben, damit ich von der linken Seite auf die rechte komme. Aber ich weiß einfach nicht, wie ich das anstellen soll. Wenn ich mir die Definitionen des Kartesischen Produktes und der Schnittmenge anschaue, weiß ich nicht, wie ich diese verknüpft aufschreiben soll.
Könnte jemand vielleicht ein analoges Beispiel machen? Solche hatte ich bisher dazu leider noch nicht, und mit denen kann ich eigentlich(ha, ha...) gut arbeiten :-P)

Ertes mal hier im Forum; ich hoffe, meine Formulieren und "Aufschreib-weise" ist verständlich :-P)
Ebenso entschuldigung, wenn ich bereits andere Posts, die selbiges Thema beinhalten übersehen habe - oder sonst irgendwelche Dinge, die nicht so ganz passend sind :-D)

Schon im Voraus vielen Dank fürs Lesen und wenn möglich sogar beim aushelfen!

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