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Beweis Ungleichung
Universität / Fachhochschule
Tags: Analysis
 
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Hallo, "Beweisen Sie die Ungleichung für x,y Element der reellen Zahlen:" Vielen Dank schon einmal im voraus ... ps: habe leider noch keine Ahnung, wie ich diese Aufgabe lösen muss ... |
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Hallo Jones! Zuerst möchte ich die Ableitung der Funktion ArcTan ermitteln: ArcTan'(x)= 1/Tan'(ArcTan(x)) Tan'(x) = (Sin(x)/Cos(x))' = (Cos(x)^2 + Sin(x)^2)/(Cos(x)^2) = 1/Cos(x)^2 ==> ArcTan'(x) = Cos(ArcTan(x))^2 Die Ableitung des ArcTan ist also auf jeden Fall immer kleiner/gleich 1. Außerdem ist die Ableitung immer größer 0, da der Wertebereich des ArcTan (-Pi/2,Pi/2) ist und die Kosinusfunktion dort keine Nullstelle hat. ==> ArcTan ist streng monoton steigend. Gehen wir nun davon aus, dass es zwei reelle Zahlen x und y gibt mit: |ArcTan(x)-ArcTan(y)| > |x-y| <==> x sei größer y, ArcTan streng monoton steigend ArcTan(x) - ArcTan(y) > x - y <==> (ArcTan(x) - ArcTan(y))/(x-y) =: c > 1 Der Mittelwertsatz der Differentialrechnung sagt uns nun, dass ein a mit y < a < x existiert mit ArcTan'(x) = c. Das kann aber nicht gelten, da ArcTan'(x) <= 1 für alle x (oben gezeigt) Gruß Clemens |
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