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Beweis Unterraum

Universität / Fachhochschule

Vektorräume

Tags: Vektorraum

anonymous

14:31 Uhr, 07.07.2014

Hallo,

ich soll für {

(x, y) \in ℝ^{2} x^{2} = y^{2}

} beweisen, dass diese Menge ein Unterraum des

ℝ^{2}

ist.

Habe so angesetzt:

1. Kriterium: Nullvektor enthalten:

(0, 0) \to 0 = 0

Passt.

2. Kriterium: Addition und Multiplikation -> Vektorraum bleibt gleich

(a + b, c + d) \to (a + b)^{2} = (c + d)^{2}

Es gilt aber nicht:

(a, c) + (b, d) \equiv (a + b, c + d)

weil

a^{2} + c^{2} \neq a^{2} + 2 a c + c^{2}

Reicht diese Argumentation oder stimmt das, was ich hier angesetzt habe nicht? Weil eigentlich ist es ja noch im selben Vektorraum... Habe ich gerade nur bewiesen, dass es nicht linear ist oder ist das schon der Beweis, dass es kein Unterraum ist?

LG simon

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Bummerang

14:36 Uhr, 07.07.2014

Hallo,

dass

{(a + c)}^{2} \neq a^{2} + c^{2}

ist, ist hier unerheblich! Du hast einen Vektor

(\begin{matrix} a \\ c \end{matrix})

und einen Vektor

(\begin{matrix} b \\ d \end{matrix})

aus dem Vektorraum. Deswegen gilt

a^{2} = c^{2}

und

b^{2} = d^{2}

. Jetzt sollst Du untersuchen, ob dann auch gilt

{(a + b)}^{2} = {(c + d)}^{2}

.

Tip: Suche ein geeignetes Gegenbeispiel. Du kannst es natürlich auch allgemein zeigen, aber es genügt ja, dass für ein Paar von Vektoren aus der Menge gilt, dass die Summe nicht in der Menge ist...

anonymous

14:47 Uhr, 07.07.2014

Sorry, habe mich mit den Variablen vertan.

Naja kann ich das nicht einfahc so beweisen:

(a + b)^{2} = (c + d)^{2} ∣ \sqrt{. . .}

\pm (a + b) = \pm (c + d)

woraus folgt, dass es mehrere Lösungen gibt, also es nicht eindeutig ist ? Ansonsten.. ja einfach ein Gegenbeispiel suchen...

Aber eigentlich ist doch nur zu beweisen, dass die Summe auch noch im

ℝ^{2}

ist, oder ?...
Lg

Bummerang

14:51 Uhr, 07.07.2014

Hallo,

so wie Du das schreibst, ist Deiner Meinung nach

(\begin{matrix} a + b \\ c + d \end{matrix})

in der Menge enthalten, sehe ich das richtig?

EDIT:

Und was heisst: "woraus folgt, dass es mehrere Lösungen gibt, also es nicht eindeutig ist ?" Willst Du damit andeuten, dass Du es für möglich hältst, dass das Ergebnis der Addition in der Teilmenge des Vektorraaumes nicht eindeutig sein könnte, wo es im Vektorraum selbst laut Definition eindeutig sein muss?

anonymous

15:03 Uhr, 07.07.2014

Ah nein, ich hab da was falsch gemacht,

ja das muss doch eigentlich so sein, dass die Lösung von

(a + b)^{2} = (c + d)^{2}

nur eindeutig sein darf... oder??? Ich komm wirklich nicht klar, was jetzt erforderlich ist, zu beweisen.

Es wird ja quasi ein Vektor zu einem Skalarfeld so wie ich das sehe.

Und wenn ich die Addition durchführe, bin ich ja trotzdem noch im Reellen Zahlenbereich, was bedeutet, dass es ( Multiplikation auch) ein Unterraum sein muss..

Oder ist es kein Unterraum, weil es keine eindeutige Lösung für die Variablen gibt...

Verzweifelt... LG

Bummerang

15:11 Uhr, 07.07.2014

Hallo,

suche bitte bei Dir den Knopf zum Abstellen der Panik! Das ist ja nur noch kauderwelsch und hat nichts mehr mit Mathematik zu tun!

"Oder ist es kein Unterraum, weil es keine eindeutige Lösung für die Variablen gibt..."

Du hast einen Vektorraum und in dem liegt für jedes

(\begin{matrix} a \\ c \end{matrix})

und

(\begin{matrix} b \\ d \end{matrix})

auch der Wert

(\begin{matrix} a + b \\ c + d \end{matrix})

und der ist eindeutig! Jetzt nimmst Du eine Teilmenge davon und forderst, dass in der Teilmenge nur solche Vektoren sein sollen, für die gilt

x^{2} = y^{2},

also

a^{2} = c^{2}

und

b^{2} = d^{2}

. Jetzt kann (muss aber nicht) auch

(\begin{matrix} a + b \\ c + d \end{matrix})

in dieser Menge liegen. Dieser Vektor ist immer noch und wird es ewig bleiben: eindeutig festgelegt durch die Rechenregeln im Vektorraum! Nur ob dieser Vektor in der speziellen Menge ist, ist noch zu zeigen! Jetzt habe ich Dir schon den Tip gegeben, dass es hier genügt, ein Gegenbeispiel zu finden! Was sagt Dir das? Das es irgendwelche

(\begin{matrix} a \\ c \end{matrix})

und

(\begin{matrix} b \\ d \end{matrix})

gibt, für die zwar gilt, dass

a^{2} = c^{2}

und

b^{2} = d^{2}

ist, aber nicht

{(a + b)}^{2} = {(c + d)}^{2}

. Suche mal solche Vektoren!

anonymous

15:23 Uhr, 07.07.2014

Ja ok, ich habs jetzt verstanden vielen Dank...

da muss man nicht viel machen : einfach: c = -a , d = b mit a,b,c,d

\neq

0

Lg

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