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Beweis Untervektorraum

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Tags: Funktion, Linear Abbildung, Skalarprodukt, Untervektorraum, Vektor, Vektorraum

 
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SingleSolution

SingleSolution aktiv_icon

15:50 Uhr, 08.11.2023

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Ich übe grade für ein anstehende Prüfung und bin mir unsicher, wie ich hier korrekt beweisen würde:

Sei C= Abbildung (ℝ,ℝ) die Menge der reellwertigen Funktionen auf ℝ, die mit der
üblichen Addition und Skalarmultiplikation zu einem Vektorraum wird.

Ist W1 mit W1={f∈C|2⋅f(0)=f(1)} ein Untervektorraum?

Wie Prüfe ich ob das 0 Element enthalten ist? Würde es reichen wenn ich sage, 2⋅f(0)-f(1)=0 und für f(0)=0 und f(1)=0 erfüllt es die Gleichung? (Wenn es beide 0 Polynome sind)

Für die Addition: (f+g)∈C mit f,g∈C
Da bin ich mir auch unsicher wie ich es anwenden soll, ein Ansatz für Addition und Multiplikation würde mir schon helfen. Vielen Dank im Voraus.

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."
Hierzu passend bei OnlineMathe:
Funktion (Mathematischer Grundbegriff)

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:
 
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Antwort
HJKweseleit

HJKweseleit aktiv_icon

20:18 Uhr, 08.11.2023

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Zunächst mal solltest du das Nullelement N identifizieren als N(x)=0 für alle x∈ℝ, da

N(x)+g(x)=0+g(x)=g(x) ist für alle x und alle Funktionen g.

Da 2N(0)=2⋅0=0=N(1) ist, ist N∈W1.

Sind f und g ∈W1, so ist 2(f+g)(0)=2(f(0)+g(0))=2f(0)+2g(0)=f(1)+g(1)=(f+g)(1), also f+g ∈W1.

Ist f ∈W1, so ist 2(k⋅f)(0)=2(k⋅f(0))=2k⋅f(0)=k(2⋅f(0))=kf(1)=(kf)(1), also kf ∈W1.
Frage beantwortet
SingleSolution

SingleSolution aktiv_icon

09:18 Uhr, 09.11.2023

Antworten
Danke!