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Beweis a^(2n+1) = b^(2n+1) <=> a = b
Universität / Fachhochschule
Tags: Analysis
 
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(K, <=) sei ein geordneter Körper; es seien a, b € K. Man zeige: Für alle n € N* gilt: a2n+1 = b2n+1 <=> a = b Als Hinweis wurde angegeben: Für => überlege man sich zunächst, dass entweder a, b < 0 oder a, b >= 0 gilt. In beiden Fällen indirekt beweisen. Ich weiss nicht wie ich da genau anfangen soll, bin also für jeden Hinweis dankbar! |
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Hallo, aus a=b => a^(2n+1)=b^(2n+1); das ergibt sich sofort aus der Definition bzw. per Induktion. Wir zeigen nun: Gilt a^(2n+1)=b^(2n+1) => a,b < 0 oder a,b >=0. Annahme: O.B.d.A. nehmen wir a < 0 und b >=0 an. Durch Induktion sieht man leicht: a^(2n) > 0 und b^(2n) >=0 (oder weil: a^(2n)=(a^n)² und b^(2n)=(b^n)²). Dann folgt mit x:=a^(2n+1) und y:=b^(2n+1): x=a*a^(2n) < 0 (wegen a < 0 und 2.Monotoniegesetz sowie 0*a^(2n)=0) und y=b*b^(2n) >=0 (analog), woraus folgt (Transitivgesetz): x < 0 <=y, also x < y. Demnach kann nicht a^(2n+1)=b^(2n+1) gelten, weil dies zusätzlich x=y implizieren würde und das widerspräche dem Trichotomiegesetz (beachte, dass x und y Elemente des Körpers sind). Damit kommen wir zum Beweis der Aussage: 1. Fall: a) Sei a^(2n+1)=0 => b^(2n+1)=0. Dies wiederum impliziert a=b=0 (->Vorlesung(?)). b) Sei b^(2n+1)=0. Dann folgt analog: b=0 und außerdem a^(2n+1)=0, was wiederum a=0 impliziert, also gilt a=0=b. 2. Fall: Sei nun a,b > 0 und a^(2n+1)=b^(2n+1). Wir zeigen: Aus a < b => a*a^(2n) < b*b^(2n) Wegen dem Trichotomiegesetz erhalten wir dann einen Widerspruch; denn wenn a^(2n+1)=b^(2n+1) gelten würde und a < b, so folgte dann ja auch: a^(2n+1) < b^(2n+1) (auch hier beachte: a^(2n+1) und b^(2n+1) sind Elemente des Körpers). Beweis per Induktion: n=1: Es gilt nach Annahme (I) a < b. Wegen a > 0 folgt aus (I): a² < ab (2.Monotoniegesetz) und wegen b > 0 folgt aus (I) (wieder 2. Monotoniegesetz): ab < b². Wegen des Transitivgesetzes erhalten wir also: (II) a² < ab < b² => (III) a² < b². Wegen a > 0 folgt aus (III): a*a² < a*b² (2.Monotoniegesetz) => (2. Monotoniegesetz auf (II) angewandt mit b > 0) a*a² < a*b²=(a*b)*b < b²*b=b³ => die Behauptung gilt für n=1. n -> n+1: Nach Induktionsvoraussetzung gilt: a^(2n+1) < b^(2n+1). Weil a² > 0 folgt dann aus dem 2. Monotoniegesetz: (IV) a²*a^(2n+1) < a²*b^(2n+1). Aus (III) folgt auch (beachte: b^(2n+1) > 0 wegen b > 0) mit dem 2. Monotoniegesetz: (V) a²*b^(2n+1) < b²*b^(2n+1). Aus dem Transitivgesetz angewandt auf (IV) und (V) folgt: a^(2n+3) < b^(2n+3), also: a^(2(n+1)+1) < b^(2(n+1)+1) Womit gezeigt wäre, dass, wenn 0 < a < b gilt, folgt: a^(2n+1) < b^(2n+1) für alle n aus IN. Also folgt aus a^(2n+1)=b^(2n+1) unmittelbar a=b, falls z.B. a^(2n+1) >= 0. Den anderen Fall (also a,b < 0) überlege dir bitte analog... Viele Grüße Marcel |
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| Super, vielen Dank! Jetzt hab ichs endlich verstanden :) | |
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Hallo Mark (Schneegurke(?) ;-)), bitte beachte, dass ich mein Posting noch am Überarbeiten war. Der Beweis ist nur fertig, falls a^(2n+1) >=0 (bzw. b^(2n+1) >=0). Du mußt noch (das geht aber analog) nachrechnen, dass, wenn a,b < 0 gilt, aus a < b auch folgt: a^(2n+1) < b^(2n+1) (und damit argumentierst du dann wieder mit dem Widerspruch zum Trichotomiegesetz; denn wenn a^(2n+1) < 0, so folgte a,b < 0 aus a^(2n+1)=b^(2n+1). Wäre dann a < b, so erhieltest du a^(2n+1) < b^(2n+1); und nach Voraussetzung gilt ja auch a^(2n+1)=b^(2n+1), und weil sowohl a^(2n+1) als auch b^(2n+1) aus K sind, geht das beim besten Willen nicht; wegen dem Trichotomiegesetz!). Ich zeige es nochmal konkret für n=1: Seien a < b < 0, also insbesondere: (*) a < b. Da a < 0, folgt -a > 0. Also folgt mit dem 2.Monotoniegesetz aus (*): (-a)*a < (-a)*b und mit den Rechenregeln im Körper (dass du die kennst, habe ich immer stillschweigend vorausgesetzt und tue das auch weiterhin ;-)): (T) -a² < -ab. Ebenso ist -b > 0 und analog erhält man aus (*): a*(-b) < b*(-b), also: (**) -ab < -b². Mit dem Transitivgesetz folgt: -a² < -b², was wegen des 1.Monotoniegesetzes, und weil a²+b² aus K ist, impliziert: -a²+(a²+b²) < -b²+(a²+b²), also 0+b² < 0+a² <=> (***) b² < a². Aus dem 2.Monotoniegesetz folgt aus (***) (wegen -b > 0): -b³ < -a²b=(-ab)*a, <=> (****) b³ > (ab)a. Aus (T) folgt (2.Monotoniegesetz und (-a > 0)): (*****) a³ < (ab)a und dann erhalten wir mit dem Transitivgesetz (angewandt auf (****) und (*****)): a³ < (ab)a < b³, also a³ < b³. Rest (also den Induktionsschritt von n->n+1 für die Aussage: Aus a < b < 0 folgt: a^(2n+1) < b^(2n+1) für alle n aus IN) bitte mal alleine lösen ;-) Irgendwo hätte ich auch noch ergänzen sollen/können, dass gilt: (I) a^(2n+1)=a*(a^n)² > 0 impliziert: a > 0, (II) a^(2n+1)=a*(a^n)²=0 impliziert: a=0 und (III) a^(2n+1)=a*(a^n)² < 0 impliziert: a < 0. Und wenn gilt: (1.) a^(2n+1)=0 => a=0 => a=b=0 aus a^(2n+1)=b^(2n+1) (siehe oben) (2.) a^(2n+1) > 0 => a > 0 => a,b > 0 (wegen a^(2n+1)=b^(2n+1) und dem oben gezeigten) und (3.) a^(2n+1) < 0 => a < 0 => a,b < 0 (wegen a^(2n+1)=b^(2n+1) und dem oben gezeigten). Damit erkennt man dann vielleicht besser die Fälle... Nun habe ich es aber leider (etwas) anders formuliert... Ich hoffe, dass ich nun das Wesentliche komplett erwähnt habe (ich garantiere nicht für fehlerfreiheit, bitte kontrollieren und ggf. nachfragen) ;-) Wahrscheinlich war dieser Weg aber wieder ein Weg, der komplizierter war, als notwendig. Ich bin mal gespannt, ob Marian nicht eine elegantere Lösung anbieten kann ;-) Viele Grüße Marcel |
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anonymous 15:33 Uhr, 08.01.2005 |
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Hi Würde nicht auch ne simple Umformung genügen? a^(2n+1) = b^(2n+1) ln(a^(2n+1)) = ln(b^(2n+1)) (2n+1)*ln(a) = (2n+1)*ln(b) ln(a) = ln(b) für n !=-1/2 e^(ln(a)) = e^(ln(b)) a = b |
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