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Beweis anhand Cauchy Schwarzsche Ungleichung

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MathStudent

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18:44 Uhr, 03.07.2020

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In einem Buch bin ich Teil eines Beweises gestoßen, den ich nicht nachvollziehen kann. Sei f:Rn→R stetig differenzierbar und x∈Rn und ∇f≠0 und d∈Rn:
Nun kommt folgende Aussage:
Die Cauchy-Schwarzsche Ungleichung besagt für beliebige v,w∈Rn:
∣vTw∣≤∣∣v∣∣⋅∣∣w∣∣
Dadurch gilt:
∇f(x)Td≥-∣∣∇f(x)∣∣⋅∣∣d∣∣
Ich verstehe nicht, wie das von Cauchy-Schwarzsche Ungleichung abgleitet wurde. Was ich von Cauchy-Schwarzsche Ungleichung ableiten kann, ist wie folgt:
∣∇f(x)Td∣≤∣∣∇f(x)∣∣⋅∣∣d∣∣⇔-∣∇f(x)Td∣≥-∣∣∇f(x)∣∣⋅∣∣d∣∣
Wie kommt man hier auf:
∇f(x)Td≥-∣∣∇f(x)∣∣⋅∣∣d∣∣

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."
Hierzu passend bei OnlineMathe:
Funktion (Mathematischer Grundbegriff)

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:
 
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Antwort
DrBoogie

DrBoogie aktiv_icon

22:42 Uhr, 03.07.2020

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"Wie kommt man hier auf:"

Wenn ∇f(x)Td<0, dann ist die letzte Ungleichung identisch mit der vorherigen
Und wenn ∇f(x)Td≥0, ist die letzte Ungleichung automatisch erfüllt
MathStudent

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14:49 Uhr, 07.07.2020

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Danke für die Antwort. Ich habe über die Antwort nachgedacht, aber entweder mache ich einen Fehler oder die Antwort ist unvollständig.
Die von mir gestellte Frage macht ja die folgende Behauptung:
-∣∇f(x)Td∣≥-∥∇f(x)∥∥d∥⇔∇f(x)Td≥-∥∇f(x)∥∥d∥
Ich will das per gegenseitige Induktion beweisen:
⇒:
Angenommen ∇f(x)Td≤0: Es gilt-∥∇f(x)∥∥d∥≤-∣∇f(x)Td∣ und somit -∥∇f(x)∥∥d∥≤∇f(x)Td.
Angenommen ∇f(x)Td≥0: Es gilt ∥∇f(x)∥∥d∥≥0⇒-∥∇f(x)∥∥d∥≤0⇒∇f(x)Td≥-∥∇f(x)∥∥d∥
Also dieser Teil wäre bewiesen. Das Problem ist der Beweis in der anderen Richtung:
⇐:
Angenommen ∇f(x)Td≤0: Es gilt -∣∇f(x)Td∣=∇f(x)Td≥-∥∇f(x)∥∥d∥.
Nun bleibt nur noch der Fall ∇f(x)Td≥0. Hier müssen wir beweisen, dass -∣∇f(x)Td∣≥-∥∇f(x)∥∥d∥. Wir wissen, dass ∇f(x)Td≥-∥∇f(x)∥∥d∥. Hier bleibe ich hängen. Wie beweise ich diesen letzten Fall?
Antwort
HAL9000

HAL9000

15:22 Uhr, 07.07.2020

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∣a∣≤b ist äquivalent zu -b≤a≤b. Im vorliegenden Fall interessiert man sich wohl nur für die linke Ungleichung, d.h., -b≤a.
MathStudent

MathStudent aktiv_icon

12:00 Uhr, 08.07.2020

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Ich kann hier nicht nachvollziehen, wie deine Antwort zum Beweis führt. Ja, es gilt ∣a∣≤b⇔-b≤a≤b. Aber wir müssen in diesem Fall erstmal beweisen, dass ∣a∣≤b d.h. ∣∇f(x)Td∣≤∥∇f(x)∥∥d∥.
Wir haben in diesem Fall:
∇f(x)Td≥0⇒∣∇f(x)Td∣≥-∥∇f(x)∥∥d∥. Alos haben wir nicht ∣a∣≤b, sondern ∣a∣≥b .
Antwort
pwmeyer

pwmeyer aktiv_icon

17:13 Uhr, 08.07.2020

Antworten
Hallo,

Aber wir müssen in diesem Fall erstmal beweisen, dass ∣a∣≤b d.h. ∣∇f(x)^Td∣≤∥∇f(x)∥∥d∥.

Das ist doch die Cauchy-Ungleichung!?

Gruß pwm
Frage beantwortet
MathStudent

MathStudent aktiv_icon

17:54 Uhr, 08.07.2020

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Ja, stimmt. Man sollte generell hier, denke ich, auf die Cauchy-Ungleichung hinweisen und somit wäre die ⇐ bewiesen.
Antwort
HAL9000

HAL9000

18:29 Uhr, 08.07.2020

Antworten
Die korrekte Implikationskette ist

Cauchy-Schwarz ⇒∣∇f(x)Td∣≤∥∇f(x)∥⋅∥d∥⇒∇f(x)Td≥-∥∇f(x)∥⋅∥d∥

Ein zusätzliches ⇐ da reinzumogeln wäre falsch und wird zudem hier auch gar nicht gebraucht.