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Beweis arsinh(x)

Universität / Fachhochschule

Differentiation

Integration

Tags: Differentiation, Integration

MBstudent aktiv_icon

20:30 Uhr, 28.01.2013

Ich habe Probleme bei dem Beweis, dass arsinh(x)

= ln (x + {(x^{2} + 1)}^{0,5})

ist.
Meine Idee war, das dass beide Ausdrücke die selbe Ableitung haben müsse, nach Vorlesung ist arsinh'(x)

= \frac{1}{{(x^{2} + 1)}^{0,5}},

wenn ich jedoch

ln (x + {(x^{2} + 1)}^{0,5})

ableite komme ich mit der Kettenregel auf

\frac{1}{x + {(x^{2} + 1)}^{0,5}} + (\frac{x}{{(x^{2} + 1)}^{0,5}} + 1)

Wie kann ich das umformen, dass das passt?
Ein Komoliton meinte, dass man auf diesem Weg möglicherweise in einer Sackgasse

(

in dieser?) landen würde, hat er recht? Falls ja, wie kann ich es dann beweisen?

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich bräuchte bitte einen kompletten Lösungsweg." (setzt voraus, dass der Fragesteller alle seine Lösungsversuche zur Frage hinzufügt und sich aktiv an der Problemlösung beteiligt.)

anonymous

21:01 Uhr, 28.01.2013

sinh

ist definiert durch:

sinh (x) = \frac{1}{2} \cdot (e^{x} - e^{- x})

respektive

y = \frac{1}{2} \cdot (e^{x} - e^{- x})

Vertausche ich

x

und

y

so erhalte ich die Umkehrfunktion arsinh
also

x = \frac{1}{2} \cdot (e^{y} - e^{- y})

Nach

y

auflösen

2 \cdot x = e^{y} - \frac{1}{e^{y}}

2 \cdot x = \frac{e^{2 \cdot y} - 1}{e^{y}}

2 \cdot x \cdot e^{y} = e^{2 \cdot y} - 1

e^{2 \cdot y} - 2 \cdot x \cdot e^{y} - 1 = 0

{(e^{y})}_{1,2} = x \pm \sqrt{x^{2} + 1}

e^{y}

stets positiv sein muss, gilt

e^{y} = x + \sqrt{x^{2} + 1}

\Rightarrow y = ln (x + \sqrt{x^{2} + 1})

pwmeyer aktiv_icon

08:50 Uhr, 29.01.2013

Hallo,

Du hast Dich bei der Kettenregel vertan: Die beiden Terme sind durch

\cdot

verbunden und nicht durch +.

Gruß pwm

anonymous

08:52 Uhr, 29.01.2013

Nein, das stimmt schon so.
Oder meinst du ganz oben die Ableitung ?
Anmerkung: Der Weg mit dem Differenzieren ist ja nicht gangbar, da ja arsinh zu Beginn noch nicht definiert ist.

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