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Beweis bei P und P-f.s. konvergenz

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Verteilungsfunktionen

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Zufallsvariablen

Tags: Erwartungswert, Konvergenz, Stochastik, test, Verteilungsfunktion, Wahrscheinlichkeitsmaß, Zufallsvariablen

S-amalgh

04:24 Uhr, 19.02.2021

Hallo zusammen, könnte mir jemand bitte den Beweis erklären, und wie der Satz von Borel-Cantelli in diesem Beweis angewendet wird?
Als Erstes habe ich den ersten Schritt im Bewis nicht verstanden.

Danke im Voraus! :-)

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

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10:18 Uhr, 19.02.2021

"Als Erstes habe ich den ersten Schritt im Bewis nicht verstanden."

Im ersten Schritt wird die Definition der Konvergenz in W-keit benutzt, mit

ε = 1

.

de.wikipedia.org/wiki/Konvergenz_in_Wahrscheinlichkeit

S-amalgh

14:09 Uhr, 19.02.2021

Ok und wieso

\frac{1}{2}

? Also

< \frac{1}{2}

Und im nächsten Schritt wieso

2^{- k + 1}

und dann

< 2^{- k}

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14:23 Uhr, 19.02.2021

2^{- k}

, damit man am Ende eine konvergierende Reihe hat mit der Summe

< 1

. Es würde auch

3^{- k}

gehen oder sonst was.

S-amalgh

15:07 Uhr, 19.02.2021

Und wie hast du das gerechnet dass

3^{- k}

auch gehen würde? Also dass man dann am Ende eine konvergierende Reihe mit der Sume

< 1

hat?

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15:14 Uhr, 19.02.2021

\sum_{k = 1}^{\infty} 3^{- k} < \sum_{k = 1}^{\infty} 2^{- k} = 1

S-amalgh

15:24 Uhr, 19.02.2021

woher haben wir

\frac{1}{2}

wenn mit ε

= 1

?

und noch Frage : wie kommen wir auf die Summe? (Sorry wenn das dume Frage ist)

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16:27 Uhr, 19.02.2021

"woher haben wir 12 wenn mit ε =1?"

In der Konvergenz in W-keit spielt

ε

eine etwas andere Rolle als bei der "gewöhnlichen" Konvergenz.
Wenn man die Definition der Konvergenz in W-keit "voll" aufschreiben würde, dann hieße sie:
für jedes

ε > 0

und jedes

δ > 0

existiert ein

N

, so dass für alle

n > N

gilt

P (∣ X_{n} - X ∣ \geq ε) < δ

.
Wir haben

ε = 1

und

δ = 1 / 2

.
Auf die Frage woher: wir wählen sie selbst, weil wir das können. Und genau diese Werte, weil wir damit am Ende das gewünschte Ergebnis haben. Und wie gesagt, es würde auch mit anderen Werten funktionieren. Aber natürlich nicht mit beliebigen.

und noch Frage : wie kommen wir auf die Summe? (Sorry wenn das dume Frage ist)"

Sagen wir mal so: bei dieser Frage habe ich das Gefühl, dass du keine Schule besucht hast. Aber das Gefühl habe ich ja sowieso oft bei dir.
Kuck hier: de.wikipedia.org/wiki/Geometrische_Reihe

S-amalgh

16:44 Uhr, 19.02.2021

wie kann ich wissen dass

P (| X_{n} - X | \geq 1)

kleiner als

\frac{1}{2}

ist? also ich meine wie hast du geraten dass

\frac{1}{2}

funktioniert?
Und noch Frage wie haben wir dann Lemma von Borel-Cantelli in dem angewendet?

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16:58 Uhr, 19.02.2021

"also ich meine wie hast du geraten dass 12 funktioniert?"

Ich hab nichts geraten. Es steht doch so im Beweis.
Du musst ja den Beweis nur verstehen, nicht selbst ausdenken.
Wie man auf den Beweis kommt, ist eine ganz andere Frage. Mit der Antwort: vermutlich gar nicht, wenn du kein Genie bist.

"Und noch Frage wie haben wir dann Lemma von Borel-Cantelli in dem angewendet?"

Wir haben

\sum_{k} P (A_{k}) < 1

. B-C sagt dann, dass

P (\underset{k}{limsup} A_{k}) = 0

. Das bedeutet, das

P (Ω \ \underset{k}{limsup} A_{k}) = 1

. Und für alle

ω

aus

Ω \ \underset{k}{limsup} A_{k}

gilt per Definition von limsup, dass

ω \in A_{k}

für alle

k

ab einem bestimmten

k_{0}

S-amalgh

17:33 Uhr, 19.02.2021

"Das bedeutet, das P(Ω\limsupkAk)=1. Und für alle ω aus Ω\limsupkAk gilt per Definition von limsup, dass ω∈Ak für alle

k

ab einem bestimmten k0."

Das habe ich irgendwie nicht verstanden... wieso P(Ω\limsupkAk)

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17:46 Uhr, 19.02.2021

Wieso was?

S-amalgh

17:58 Uhr, 19.02.2021

Also wie kommst du auf P(Ω\limsupkAk) und noch darauf dass das

= 1

ist?

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18:00 Uhr, 19.02.2021

Weißt du denn nicht, dass

P (Ω \ A) = 1 - P (A)

für jedes Ereignis

A

S-amalgh

18:12 Uhr, 19.02.2021

"das P(Ω\limsupkAk)=1. Und für alle ω aus Ω\limsupkAk gilt per Definition von limsup, dass ω∈Ak für alle

k

ab einem bestimmten k0"

Woraus folgert? Vielleicht verstehe ich nicht wieso du das geschrieben hast, weil ich der Ziel davon nicht weiß

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18:56 Uhr, 19.02.2021

Ich verstehe nicht, was du fragen willst. Verstehst du es?

S-amalgh

19:02 Uhr, 19.02.2021

"P(Ω\limsupkAk)=1. Und für alle ω aus Ω\limsupkAk gilt per Definition von limsup, dass ω∈Ak für alle

k

ab einem bestimmten k0."

wieso haben wir das geschrieben? was ist der Ziel?

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19:25 Uhr, 19.02.2021

Das Ziel ist eine Menge

A

zu finden, so dass 1.

P (A) = 0

und 2. für alle

ω \notin A

gilt

X_{n_{k}} (ω) \to X (ω)

.
Denn genau das ist die f.s. Konvergenz.
Diese Menge

A

ist

\underset{k}{limsup} A_{k}

. Borel-Cantelli sagt, dass sie tatsächlich W-keit 0 hat.
Und die Konstruktion der Teilfolge

n_{k}

garantiert, dass

X_{n_{k}} (ω) \to X (ω)

für alle

ω

nicht aus dieser Menge.

S-amalgh

19:41 Uhr, 19.02.2021

in der Definition in meinem Skript steht nicht dass ω∉A sein sollte, deswegen habe ich das nicht gedacht

S-amalgh

19:46 Uhr, 19.02.2021

"Und die Konstruktion der Teilfolge nk garantiert, dass Xnk(ω)→X(ω) für alle ω nicht aus dieser Menge."
Sorry dass ich jetzt noch eine Frage stelle...
wie garantiert

n_{k}

das? ich habe das nicht verstanden

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20:56 Uhr, 19.02.2021

"in der Definition in meinem Skript steht nicht dass ω∉A sein sollte"

Eigentlich schon, wenn man die Definition genau liest.
Wenn man die dort stehende Menge

{ω : X_{n} (ω) \to X (ω)}

nimmt und

A

als komplementäre Menge dazu definiert, dann wird es genau so sein wie ich geschrieben habe:

P (A) = 0

und

X_{n} (ω) \to X (ω)

für alle

ω \notin A

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20:58 Uhr, 19.02.2021

"wie garantiert nk das? ich habe das nicht verstanden"

Am Ende hat man

∣ X_{n_{k}} (ω) - X (ω) ∣ < 2^{- k + 1}

. Und da

2^{- k + 1} \to 0

, folgt

∣ X_{n_{k}} (ω) - X (ω) ∣ \to 0

bzw.

X_{n_{k}} (ω) \to X (ω)

S-amalgh

21:11 Uhr, 19.02.2021

eigentlich habe ich nicht vertandem wie man auf

| X_{n_{k}} (ω) - X (ω) | < 2^{- k + 1}

kommt

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21:17 Uhr, 19.02.2021

Die Mengen

A_{k}

sind gerade so definiert, dass für alle

ω

daraus

∣ X_{n_{k}} - X ∣ \geq 2^{- k + 1}

gilt. Also, wenn

ω

NICHT in

A_{k}

, dann gilt

∣ X_{n_{k}} - X ∣ < 2^{- k + 1}

.
Und wenn

ω

nicht in

\underset{k}{limsup} A_{k}

liegt, dann liegt es in höchstens endlich vielen von

A_{k}

, also ab einem bestimmten

k

liegt

ω

in keinem von

A_{k}

und damit gilt

∣ X_{n_{k}} - X ∣ < 2^{- k + 1}

S-amalgh

15:22 Uhr, 20.02.2021

Alles klar Danke für deine tolle Hilfe! :-)
Ich habe mündliche Prüfung am Montag Der Dozent hat gesagt ich kann ein Satz/Beweis vom Stoff auswählen damit ich das vorstelle. Ich habe Lemma von Borel- Cantelli ausgewählt. Den Beweis habe ich sehr gut verstanden. Aber ich muss noch Sätze nennen, die durch Lemma von Borel- Cantelli angewendet werden ,und die Beweisideen vorstellen und wie wendet man Borel Cantelli in den Sätzen an.
Ein Satz davon ist der Satz von p-fs und

P

konvergenz (dieses Satz) :-)
Wie meinst du wie soll ich das erklären?
Danke im Voraus! :-)

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16:44 Uhr, 20.02.2021

Ich verstehe deine Frage nicht.

S-amalgh

23:48 Uhr, 20.02.2021

Alles gut ich habe keine Frage mehr dazu.
Danke für die tolle Hilfe und Erklärung! :-))

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