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Beweis bezüglich lineare Hülle/span

Universität / Fachhochschule

Vektorräume

Tags: Vektorraum

Miausch aktiv_icon

19:17 Uhr, 29.09.2012

Hi

Ich möchte etwas beweisen, mein Beweis ist mMn aber noch nicht formal ausgereift, könnt ihr mir ev. dazu Feedback geben?

Zu beweisen:

Falls

M \subset

span(

v_{1}, .

, v_{l}) \Rightarrow

span(M)

\subset

span(

v_{1}, ..., v_{l}),

wobei

M = {w_{1}, ..., w_{n}}

genauso wie

{v_{1}, ..., v_{l}}

eine Menge von Vektoren aus dem Vektorraum

V

über den Körper

F

ist.

Beweis:

M \subset

span(

v_{1}, .

, v_{l})

bedeutet

\exists a_{i} \in F, v_{i} \in {(v_{i})}_{i} s . d

. für

\forall w_{i} \in {(w_{i})}_{i} : w_{i} = \sum_{i = 1}^{n} a_{i} v_{i}

Nun ist span(M)

= {\sum_{i = 1}^{n} a_{j} w_{i}; a_{j} \in F, w_{i} \in V, n \in ℕ}

und mit

w_{i} = \sum_{i = 1}^{n} a_{i} v_{i}

und

a_{j} w_{i} = a_{j} (a_{i} v_{i}) = (a_{j} a_{i}) v_{i} = b_{i} v_{i}

für

b_{i} \in F

ist span(M)

\subset

span(v_1, ..

, v_{l})

.

Ist das sauber genug oder hab ich Fehler/Überflüssiges/Ungenauigkeiten?

Vielen Dank!

weisbrot aktiv_icon

19:55 Uhr, 29.09.2012

hi mal wieder;-)
also da sind wirklich einige ungenauigkeitet bzw. fehler drin, wodurch das im detail etwas schwer nachzuvollziehen ist.

z . b

. ist es nicht richtig zu schreiben

v_{i} \in {(v_{i})}_{i},

einerseits, da

{(v_{i})}_{i}

eine folge und nicht menge ist, andererseits, da in

v_{i}

die variable

i

frei ist, und in

{(v_{i})}_{i}

im folgenoperator (angenommen, man nennt den so^^) gebunden ist, was nicht sein darf. außerdem ist diese erste aussage nicht

\exists a_{i}, v_{i} : (. .

\forall w_{i} : . .

. ) sondern

\forall w_{i} : \exists a_{i, j}, v_{j} : (...)

.
dann ist

w_{i} = \sum_{i = 1}^{n} a_{i} v_{i}

nicht korrekt aus demselben grund wie vorher

(i -

frei oder gebunden?). vielmehr sollte man schreiben: (es gibt

a_{i, j},

sodass)

w_{i} = \sum_{j = 1}^{l} a_{i, j} v_{j}

.
entsprechend fällt es mir schwer nachzuvollziehen, was du daanch gemeint hast; die grundidee ist bestimmt in ordnung..
also klar, mann nimmt ein

m

in span(M), nach voraussetzung ist

m = \sum_{i = 1}^{n} a_{i} w_{i}

(für gewisse

a_{i}),

un dann ist aber auch

w_{i}

in span

{

v_{1}, . .

, v_{l}}

nach vorauss., also

. .

.
lg

Miausch aktiv_icon

20:29 Uhr, 29.09.2012

Vielen Dank mal wieder ;-)
Das "Problem" mit freier vs. gebundener Variablen löst man also mit Doppelindizes, interessant..

\to

ich werde morgen alles nochmals neu aufschreiben!
Thx!

Miausch aktiv_icon

18:19 Uhr, 30.09.2012

Ok, ich habs mir angeschaut, ich hab aber auch noch Fragen dazu..wie du zu Recht darauf verwiesen hast, benutzt man die Notation "

{(a_{i})}_{i}

" ja um Folgen zu bezeichnen - warum schreibt man dann aber span(

v_{1}, . .

, v_{l})

und nicht span

{v_{1}, . .

, v_{l}}

?

Weiter, wenn ich nun schreibe:

Für

\forall w_{j}

mit

j : 1 \leq j \leq n : \exists a_{j, i} \in F, v_{i} \in V s . d . :

w_{j} = \sum_{i = 0}^{n} a_{j, i} v_{i}

dann ist ja das

j

links auch gebunden? Nicht durch den Summenoperator sondern durch den Allquantor...

Weiter hab ich mich gefragt, ob man das Ganze eigentlich nicht mit Doppelindizes schreiben kann?

D . h

a_{i_{j}}

statt

a_{i, j}

?

Danke

weisbrot aktiv_icon

18:57 Uhr, 30.09.2012

1. das ist definitionssache - also ob man den span nun auf mengen von vektoren definiert (dann nur mit einer variable), oder auf vektoren, dann mit mögl.weise mehr als einer variablen. ich finds besser über mengen, ist dann halt einheitlicher, aber ist auch nicht so wichtig.

2. da hast du recht, dass dann

j

im allquantor gebunden ist. man kanns aber auch einfach ohne allquantor schreiben und einfach "variabel" lassen, dann ist

j

frei (du kannst dir merken, dass du immer dort, wo eine aussage mit freier variable steht, sie mit dem generalisator binden kannst (und andersrum) - mach dir da

-

in diesem zusammenhang - nicht zuviele gedanken drüber)

3. nein. wenn du

a_{i_{j}}

schreibst, dann hängt der index

i

von

j

ab, was etwas anderes ist, als wenn a von zwei indizes abhängt, also

a_{i, j}

. kannst du dir leicht klar machen: sagen wir

i

geht von 1 bis

n

und

j

von 1 bis

m;

dann hat man im 1. fall

n

verschiedene

a' s

(denn

i

variiert jetzt zwar mit

j,

nimmt aber immernoch nur werte von 1 bis

n

an), im 2. aber

n \cdot m

verschiedene.

lg

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