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Beweis bezüglich symmetrischer Differenz

Universität / Fachhochschule

Lineare Abbildungen

Tags: Linear Abbildung, mengen, neutrales Element, symmetrische Differenz

 
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lisaa23

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19:36 Uhr, 20.10.2018

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Hallo an alle,

ich sitze jetzt schon eine Zeit lang bei folgender Aufgabe:
Zeigen Sie

(∀B ⊆ M:B=A□B) ⇔ A= ∅, dh. ∅ ist neutrales Element der Verknüpfung
¨ □∈P(M)
□ steht hierbei für die symmetrische Differenz, also A□B:= (A∪B)∖(A∩B)
bzw. (A∪B)∖(A∩B)

So, mein erstes Problem ist jetzt, dass ich mich durch die vielen = Zeichen und zusätzlich noch dem Äquivalenzpfeil gar nicht so recht auskenne, was genau jetzt zu beweisen ist.
Ich dachte jetzt mal, man könnte zeigen, dass
1)B= (A∪B)∖(A∩B) (unter der Voraussetzung dass A= ∅)
sowie dann die andere Richtung:
2)zz. A= ∅ wenn B= (A∪B)∖(A∩B) gilt.
Passt das schon mal oder ist das ein Blödsinn?


also auf jeden Fall hab ich dann mit 1) folgendermaßen begonnen, bin mir aber sehr sicher, dass das so nicht ganz stimmen kann:

x∈ (A∪B)∖(A∩B) ⇒(x∈A∨x∈B)∧(x∉A∨x∉B)⇒(x∈A∧x∉A)∨(x∈A∧x∉B)∨(x∈B∧x∉A)∨(x∈B∧x∉B)
⇒( ∅ ∧x∉B)∨(x∈B∧ ∅) ⇒(x∉B∨x∈B)∧(x∈B∨ ∅) ⇒(x∉B∧X∈B)∨(x∉B∧ ∅) ∨(x∈B∧x∈B)∨(x∈B∧ ∅)
⇒x∈B

Ich hab keine Ahnung ob man das so machen darf und bin sehr dankbar, wenn jemand helfen kann.

2) Bei der Rückrichtung weiß ich überhaupt nicht, wie ich vorgehen soll - ich weiß nicht wie man so etwas beweist (ich finde es extrem logisch dass es so ist aber weiß nicht, wie ich es aufschreiben soll). Denn es ist ja irgendwie klar, ist ja quasi alles, was die Mengen nicht gemeinsam haben, wenn diese jetzt B ist, ist es klar, dass A die leere Menge ist, aber wie beweist man sowas?


Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."
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michaL

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19:46 Uhr, 20.10.2018

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Hallo,

ok, formal ist es nicht korrekt!
Deine Gedanken dazu sind aber korrekt.

Versuche vielleicht abzukürzen und zu zeigen, dass x∈A△B genau dann gilt, wenn entweder x∈A∧x∉B oder x∉A∧x∈B gelten.

Wird es damit einfacher?

Mfg Michael
lisaa23

lisaa23 aktiv_icon

19:58 Uhr, 20.10.2018

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Vielen Dank für die Antwort!
Du meinst, ich soll zeigen, dass

AΔB↔(x∈A∧x∉B)∨(x∉A∧x∈B)

Naja geht das nicht aus der Definition heraus? (Diese Aufgabe hatte noch einen Teil a) wo ich zeigen musste, dass man die symmetrische Differenz eben auch als ((A\B) ∪ (B\A)) aufschreiben kann, d.h. das wäre schon der Beweis?

lg Lisa
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michaL

michaL aktiv_icon

20:41 Uhr, 20.10.2018

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Hallo,

ich weiß nicht, wie bei euch symmetrische Differenz definiert ist.
Wenn das die Definition ist, dann brauchst du ja nichts mehr zu beweisen.

Wenn ich noch einmal darüber nachdenke, sollte vielleicht sogar eher A△B=A\B∪⋅B\A weiter helfen. Ist das eure Definition?

Gilt B=A\B∪⋅B\A, so gelten einerseits:
(i) A∩B=∅ und andererseits
(ii) A⊆B

Warum?
Wäre X:=A∩B≠∅, so würde X⊆/A△B, da A△B=(A∪B)\X gilt. Damit wäre eine Teilmenge von B NICHT enthalten im Widerspruch zu A△B=B.

Gäbe es andererseits ein x∈A\B, so gälte x∈A△B, aber nicht x∈B, schon wieder ein Widerspruch.

Alles klar?

Und nun überlege, welche Mengen A sowohl (i) als auch (ii) erfüllen!

Mfg Michael
lisaa23

lisaa23 aktiv_icon

21:26 Uhr, 20.10.2018

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Ja alles klar! Ich selbst wäre zwar nie auf solche Gedankengänge gekommen, aber glaube zumindest zu verstehen, was du geschrieben hast :-)

Das bedeutet, aus den beiden Widersprüchen kann man eben (i) sowie (ii) schließen, und daraus folgt dann logischerweise, dass A die leere Menge sein muss, wenn gilt B=AΔB.
Das heißt, die ursprüngliche Aussage wäre somit bewiesen, richtig?
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