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Problem im Beweis, dass Z [Wurzel(d)] Ring ist.

Universität / Fachhochschule

Ringe

Tags: Ring

Schorle aktiv_icon

20:40 Uhr, 09.12.2017

Hallo,
folgende Aufgabe liegt meiner Frage zugrunde:

Sei

d

€

Z

quadratfrei und

Z [d^{\frac{1}{2}}] = {a + b d^{\frac{1}{2}} | a, b

€

Z}

Zeigen Sie, dass

Z [d^{\frac{1}{2}}]

ein Ring ist.
Da ich schon LA1 und LA2 gehört habe, ist die Aufgabe an sich kein Problem, allerdings verwirrt mich folgender Sachverhalt:

Wenn ich Abgeschlossenheit bez.

+

zeigen möchte, würde ich das ja folgendermaßen machen:

Sei

a, b, c, e

€

Z

und

(a + b d^{\frac{1}{2}}), (c + e d^{\frac{1}{2}})

€

Z [d^{\frac{1}{2}}] :

(a + b d^{\frac{1}{2}}) + (c + e d^{\frac{1}{2}}) = a + b d^{\frac{1}{2}} + c + e d^{\frac{1}{2}} = a + c + b d^{\frac{1}{2}} + e d^{\frac{1}{2}}

= (a + c) + (b + e) d^{\frac{1}{2}}

€

Z [d^{\frac{1}{2}}]

Aber: Wieso darf ich hier das

c

und bd^(1/2) vertauschen und wieso darf ich Distributivität anwenden und das

d^{\frac{1}{2}}

rausziehen, ich weiß ja lediglich, dass

Z

ein Ring ist und entsprechende Gesetze vererbt werden, aber wenn ich noch annehmen würde, dass

d^{\frac{1}{2}}

€

R

und

R

ein Ring ist, da wäre der ganze Beweis ja hinfällig, weil ich ja weiß, dass a+bd^(1/2) €

R

ist. Versteht jemand, was mein Problem ist und kann mir helfen, vielleicht hab ich mir auch einen Knoten in den Kopf gesetzt!?

Danke schon mal!

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich bräuchte bitte einen kompletten Lösungsweg." (setzt voraus, dass der Fragesteller alle seine Lösungsversuche zur Frage hinzufügt und sich aktiv an der Problemlösung beteiligt.)

michaL aktiv_icon

02:26 Uhr, 10.12.2017

Hallo,

> Aber: Wieso darf ich hier das c und bd^(1/2) vertauschen und wieso darf ich Distributivität anwenden und das
> d12 rausziehen, ich weiß ja lediglich, dass Z ein Ring ist und entsprechende Gesetze vererbt werden, aber wenn
> ich noch annehmen würde, dass d12 € R und R ein Ring ist, da wäre der ganze Beweis ja hinfällig, weil ich ja
> weiß, dass a+bd^(1/2) € R ist.

Hm, immerhin gilt sicher:

ℤ [\sqrt{d}] \subseteq ℂ

, sodass die von dir angesprochenen Rechengesetze von dort geerbt werden.
Die einzige Aufgabe, neben der Feststellung, dass das so ist, bleibt der Nachweis, dass die Menge gegenüber den angesprochenen Ringoperationen von

ℂ

abgeschlossen ist. Das ist alles.
(Sofern ihr die Tatsache schon hattet oder wenigstens verwenden dürft, dass

(ℂ, +, 0, -, \cdot, 1,^{- 1})

ein Körper und damit ein besonderer Ring ist.)

Mfg Michael

Schorle aktiv_icon

11:44 Uhr, 10.12.2017

Ja ich glaub, ich weiß jetzt, wo mein Problem lag, ich hätte das

ℤ [\sqrt{d}]

einfach als Unterring betrachten sollen...
Danke für den entprechenden Anstoß!

Grüße Stefan

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