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Beweis dass das Viereck ein Quadrat ist

Schüler Gymnasium, 13. Klassenstufe

Tags: Skalarprodukt, Vektor

jma23 aktiv_icon

15:38 Uhr, 10.04.2010

Wie kann ich beweisen dass das Viereck ABCD mit

A (- 3 | 5 | 6) B (1 | - 5 | 7) C (8 | - 3 | - 1) D (4 | 7 | - 2)

ein Quadrat ist?

Ich habe bisher die Längen der Diagonalen ausgerechnet und diese sind gleich

(3 \sqrt{13})

. Reicht das?

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Hierzu passend bei OnlineMathe:

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:

Parallelverschiebung
Rechnen mit Vektoren - Einführung
Rechnen mit Vektoren - Fortgeschritten
Skalarprodukt

Flowergirl aktiv_icon

15:40 Uhr, 10.04.2010

Wenn beide Diagonalen gleich lang sind, dann muss es ja ein Quadrat sein. Du kannst es auch zur Kontrolle aufzeichnen und abmessen.

Shipwater aktiv_icon

15:42 Uhr, 10.04.2010

Reicht leider nicht aus, bei jedem beliebigen Rechteck sind die Diagonalen doch ebenfalls gleich lang.

jma23 aktiv_icon

15:43 Uhr, 10.04.2010

was muss dann noch gerechnet werden?

anonymous

15:44 Uhr, 10.04.2010

〉

Wenn beide Diagonalen gleich lang sind, dann muss es ja ein Quadrat sein.

Stimmt nicht ganz, man muss auch noch zeigen, dass alle Seiten Gleich lang sind, sonst könnte es

z . B

. auch ein Rechteck sein.

Statt zu zeigen, dass die Diagonalen gleich lang sind kann man übrigens auch mit Hilfe des Skalarproduktes zeigen, dass die Winkel zwischen den Seiten 90° groß sind.
(Das Skalarprodukt ergibt dann nämlich

0 .)

Edit: Da war wohl Shipwater schneller al ich.^^

Flowergirl aktiv_icon

15:45 Uhr, 10.04.2010

Ja, genau. Du könntest die Vektoren von AB und BC ausrechnen und die sollten gleich lang sein.

jma23 aktiv_icon

15:48 Uhr, 10.04.2010

@Flowergirl, könntest du vielleicht erklären warum

BjBot aktiv_icon

15:50 Uhr, 10.04.2010

Es reicht zwar nicht dass die Diagonalen gleich lang sind, aber wenn man dann noch zeigt, dass sie senkrecht zueinander stehen, sollte das genügen.

Flowergirl aktiv_icon

15:55 Uhr, 10.04.2010

Die Länge des Vierecks reicht ja von A nach

B

und die Breite von

B

nach C. Und um zu beweisen, dass beide Seiten gleich lang sind, müssten die Vektoren AB und BC gleich lang sein.

ahmedhos aktiv_icon

16:03 Uhr, 10.04.2010

Zuerst mal müßen folgende Skalarprodukte verschwinden:

\vec{A B} \cdot \vec{A C} = \vec{D B} \cdot \vec{D C} = 0

Dann müßen folgende Längen gleich sein:

| \vec{A B} | = | \vec{D C} | = | \vec{A C} | = | \vec{D B} |

anonymous

17:04 Uhr, 10.04.2010

Leider hast du das ein wenig falsch gezeichnet und daher werden dann auch deine Rechenangaben falsch, ahmedhos. Die Punktanordnung der Eckpunkte ist ABCD nicht ACDB. Deshalb wären

[

AC] und [DB] Diagonalen, keine Seiten.

Richtig:

\vec{A B} \cdot \vec{A D} = \vec{B C} \cdot \vec{C D} = 0

(für den Beweis der 90°-Winkel zwischen den Seiten)
Es ginge aber auch beispielsweise:

\vec{A B} \cdot \vec{B C} = \vec{B C} \cdot \vec{C D} = 0

und

| \vec{A B} | = | \vec{B C} | = | \vec{C D} | = | \vec{A D} |

(für den Beweis, dass die Seiten gleich lang sind)

Edit: Und mir ist auch aufgefallen, dass das was du in deiner Fragestellung als Diagonalenlänge angegeben hast die Seitenlänge ist, jma23. Die Diagonalenlänge wäre nämlich

3 \sqrt{26}

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