Mathematik online lernen im Mathe-Forum. Nachhilfe online

Startseite » Forum » Beweis dass sum 1/2n divergiert

Beweis dass sum 1/2n divergiert

Universität / Fachhochschule

Folgen und Reihen

Tags: Folgen und Reihen

darius92 aktiv_icon

16:48 Uhr, 23.11.2015

Moin

ich will für eine Aufgabe beweisen, dass

\sum_{n = 1}^{\infty} \frac{1}{2 n}

divergiert.

Könntet ihr vielleicht mal kontrollieren, ob der Beweis so korrekt ist?

Sei

ε

beliebig aber fest und

ε < \frac{1}{4}

\sum_{n = k + 1}^{2 k} = \frac{1}{2 (k + 1)} + \frac{1}{2 (k + 2)} . .

\frac{1}{4 k}

\geq \frac{1}{4 k} + \frac{1}{4 k} + \frac{1}{4 k} ... \frac{1}{4 k} (k

mal)

also

\sum_{n = k + 1}^{2 k} \geq \frac{1}{4}

und somit

\sum_{n = k + 1}^{2 k} > ε

Nach dem Cauchykriterium ist diese Reihe also nicht konvergent, da der Abstand zwischen den Gliedern nicht beliebig klein werden kann.

Kann man das so aufschreiben?

Lieben Dank

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Bummerang

17:19 Uhr, 23.11.2015

Hallo,

wenn Du weisst, dass

\sum_{k = 1}^{n} \frac{1}{k}

(harmonische Reihe) für

n \to \infty

divergiert, dann nutze doch einfach das:

\sum_{k = 1}^{n} \frac{1}{2 \cdot k} = \sum_{k = 1}^{n} (\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{k}) = \frac{1}{2} \cdot \sum_{k = 1}^{n} \frac{1}{k}

Ansonsten empfehle ich Dir, einfach den üblichen Weg des Beweises der Divergenz der harmonischen Reihe nachzuvollziehen, bei dem gezeigt wird, dass die Summe unbeschränkt wächst!

IPanic aktiv_icon

17:30 Uhr, 23.11.2015

Eine Möglichkeit dies zu beweisen, erfolgt über genauere Betrachtung der Partialsummen.

s_{n} = \sum_{k = 1}^{n} (\frac{1}{2 k})

Für die Partialsummen folgt dann:

s_{1} = \frac{1}{2}

s_{2} = \frac{1}{2} + \frac{1}{4}

s_{4} = \frac{1}{2} + \frac{1}{4} + \frac{1}{6} + \frac{1}{8} > \frac{1}{2} + \frac{1}{4} + \frac{1}{4}

s_{8} = \frac{1}{2} + \frac{1}{4} + \frac{1}{6} + \frac{1}{8} + \frac{1}{10} + \frac{1}{12} + \frac{1}{14} + \frac{1}{16} > \frac{1}{2} + \frac{1}{4} + \frac{1}{4} + \frac{1}{4}

Jetzt zeigst du induktiv, dass gilt:

s_{2^{k}} \geq \frac{1}{2} + \frac{k}{4}

. Somit konvergiert die Reihe nicht.

Diese Frage wurde automatisch geschlossen, da der Fragesteller kein Interesse mehr an der Frage gezeigt hat.

1270696

1270684

	Status: nicht eingeloggt	Noch nicht registriert?