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Beweis der Bernoullischen Ungleichung

Universität / Fachhochschule

Tags: Bernoulli, Bernoulli Ungleichung, Bernoulli-Ungleichung, Bernoullische Ungleichung, Ungleichung

Helpneeder

23:49 Uhr, 09.11.2016

Hallo miteinander,
ich hänge gerade bei einer Aufgabe, die sich um die Bernoullische Ungleichung dreht.
Also zuerst musste ich folgendes beweisen:

Es sei

x \geq - 1

und

x \neq 0

. Dann gilt:

{(1 + x)}^{n} >

1+nx

\forall n \in ℕ

mit

n \geq 2

.

Mein Beweis sieht folgendermaßen aus:

Induktionsanfang:

{(1 + x)}^{2} > 1 + 2 x

\Rightarrow 1 + 2 x + x^{2} > 1 + 2 x

Induktionsschritt:

{(1 + x)}^{n + 1} > 1 + (n + 1) x

\Rightarrow (1 + x) {(1 + x)}^{n} > 1 + n \cdot x + x

Das sollte soweit ja genügen, denn

1 + x > 1

und nach Induktionsanfang

{(1 + x)}^{n} > 1 + n \cdot x

.

Jetzt soll ich aber noch zeigen, dass für alle

n \geq 2

folgendes gilt:

Auch hier ist der Induktionsanfang schnell gemacht:

{(1 + \frac{1}{2 - 1})}^{2} > {(1 + \frac{1}{2})}^{3}

\Rightarrow 4 > 3,375

Zum Induktionsschritt fehlt mir jetzt aber die zündende Idee.
Schätzungsweise ist es klug, die Ungleichung irgendwie umzuformen, damit man am Ende irgendwie die Bernoullische Ungleichung (wie sie vorher bewiesen wurde) benutzen kann.
Kann mir jemand einen "Schubs" in die richtige Richtung geben?

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Hierzu passend bei OnlineMathe:

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:

Bernoulli-Experimente
Bernoulli-Kette

Respon

00:19 Uhr, 10.11.2016

Sei für

n

schon bewiesen:

{(1 + x)}^{n} \geq 1 + n \cdot x

{(1 + x)}^{n + 1} = {(1 + x)}^{n} \cdot (1 + x) \geq (1 + n \cdot x) \cdot (1 + x) = 1 + n \cdot x + x + n \cdot x^{2} \geq 1 + n \cdot x + x = 1 + (n + 1) \cdot x

Helpneeder

09:10 Uhr, 10.11.2016

Also das scheint mir aber eher eine alternative Herangehensweise für den ersten Aufgabenteil zu sein. Den habe ich aber schon gemacht! Bei dem zweiten Teil komme ich nicht weiter.

Aber aus mir nicht erklärlichen Gründen fehlt oben in meinem Text auch eine Zeile:

Jetzt soll ich aber noch zeigen, dass für alle n≥2 folgendes gilt:

{(1 + \frac{1}{n - 1})}^{n} > {(1 + \frac{1}{n})}^{n + 1}

Induktionsanfang siehe oben
Induktionsschritt fehlt

pwmeyer aktiv_icon

10:00 Uhr, 10.11.2016

Hallo,

Du hast die erste Aufgabe nicht korrekt gelöst, denn Du hast benutzt

- 1 + x > 1

- 1 + n \cdot x > 1 + (n + 1) \cdot x

Beides ist falsch.

Gruß pwm

Bummerang

14:44 Uhr, 10.11.2016

Hallo,

musst Du

{(1 + \frac{1}{n - 1})}^{n} > {(1 + \frac{1}{n})}^{n + 1}

durch Induktion beweisen? Ohne geht es nämlich recht einfach:

Nach erstem Beweis gilt mit

x = \frac{1}{n^{2}} :

(i) {(1 + \frac{1}{n^{2}})}^{n} > 1 + n \cdot \frac{1}{n^{2}} = 1 + \frac{1}{n} = \frac{n + 1}{n}

Und es gilt auch:

n^{2} - 1 < n^{2}

\frac{1}{n^{2} - 1} > \frac{1}{n^{2}} > 0

1 + \frac{1}{n^{2} - 1} > 1 + \frac{1}{n^{2}} > 1

(i i) {(1 + \frac{1}{n^{2} - 1})}^{n} > {(1 + \frac{1}{n^{2}})}^{n}

Ais

(i)

und

(i i)

folgt:

{(1 + \frac{1}{n^{2} - 1})}^{n} > \frac{n + 1}{n}

{(\frac{n^{2} - 1 + 1}{n^{2} - 1})}^{n} > \frac{n + 1}{n}

{(\frac{n^{2}}{(n - 1) \cdot (n + 1)})}^{n} > \frac{n + 1}{n}

{(\frac{n}{n - 1} \cdot \frac{n}{n + 1})}^{n} > \frac{n + 1}{n}

{(\frac{n}{n - 1})}^{n} \cdot {(\frac{n}{n + 1})}^{n} > \frac{n + 1}{n}

{(\frac{n}{n - 1})}^{n} > \frac{n + 1}{n} \cdot {(\frac{n + 1}{n})}^{n}

{(\frac{n - 1 + 1}{n - 1})}^{n} > {(\frac{n + 1}{n})}^{n + 1}

{(1 + \frac{1}{n - 1})}^{n} > {(1 + \frac{1}{n})}^{n + 1}

Helpneeder

18:04 Uhr, 10.11.2016

@pwmeyer: Wo habe ich diese Ungleichungen benutzt?

@Bummerang: Nein, ich muss das nicht mit Induktion machen. Ich habe das einfach mal probiert, weil mir im ersten Moment nichts besseres eingefallen ist.
Dein Beweis ergibt auf jeden Fall Sinn.
Nur wie kommt man darauf,