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Beweis der Bijektivität

Universität / Fachhochschule

Funktionalanalysis

Tags: Funktionalanalysis

wimath aktiv_icon

16:53 Uhr, 22.10.2009

Es sei für die natürliche Zahl

n

Element der natürlichen Zahlen und die Menge

Z

der ganzen Zahlen
nZ definiert

{k

Elemant z|es gibt

l

Element

Z : k = ln}

1.Finden sie für alle

m, n

Element der natürlichen Zahlen eine Bijektion f_mn:mZ->nZ.Beweisen Sie, dass die Abbildung eine Bijektion ist.
2.Für

m, n

Element natürliche Zahlen betrachten wir die Schnittmenge M:=mZ geschnitten nZ. Welche Zahl enthält M?
Beweisen sie Ihre Behauptung.

Z =

ganze Zahlen

Bitte um Hilfe bei der Aufgabe

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich bräuchte bitte einen kompletten Lösungsweg." (setzt voraus, dass der Fragesteller alle seine Lösungsversuche zur Frage hinzufügt und sich aktiv an der Problemlösung beteiligt.)

michaL aktiv_icon

19:56 Uhr, 22.10.2009

Hallo Thorsten,

doch ich kann dir helfen.

Als Beispiel schauen wir uns die Menge

3 ℤ

an.

3 ℤ = {\dots, - 9, - 6, - 3, 0, 3, 6, 9, 12, \dots}

.

Insbesondere kann man also folgendes sagen: Für jedes

x \in m ℤ

gibt es offenbar genau ein

z \in ℤ

, sodass

x ? m \cdot z

gilt.

Zwischen den Elemente von

ℤ

und denen von

m ℤ

gibt es offenbar eine Bijektion

z \mapsto m \cdot z

Das gilt auch für

n ℤ

und

ℤ

.
Also kennst du doch schon folgende Bijektionen:

m ℤ \to ℤ \to n ℤ

x \mapsto y = x \div m \mapsto n \cdot y

Wenn du jetzt noch das Ergebnis aus der Vorlesung heranziehst (Verknüpfungen/Hintereinanderausführungen von Bijektionen sind wieder Bijektionen), dann ist der Weg doch eigentlich offensichtlich:

f_{m n} : m ℤ \to n ℤ, x \mapsto \frac{n x}{m}

ist das, was du suchst.

Allerdings ist es damit nicht getan. Du musst nachweisen, dass die Funktion tatsächlich für jedes Element aus

m ℤ

auch ein Element aus

n ℤ

liefert, dass die Funktion injektiv und surjektiv ist.
Kriegst du das allein hin?

Zur 2. Aufgabe: Hast du es mal bei konkreten Beispielen versucht? Welche ELemente sind denn in

4 ℤ \cap 6 ℤ

enthalten?

Mfg Michael

Pfaffi aktiv_icon

13:43 Uhr, 25.10.2009

Ich habe das gleiche Problem, ich weiß zwar wie man auf die bijetion kommt, verstehe aber nicht wie ich das beweisen soll, bei der bijektion ist mir klar, dass es genau eine zahl gibt die einer anderen zugeordnet ist, aber wie beweise ich das?

Ich hoffe mir kann das jemand erklären und ich bedanke mich schonmal für die hilfe.

michaL aktiv_icon

15:15 Uhr, 25.10.2009

Hallo Markus,

wenn man beweisen will, dass eine Abbildung bijektiv ist, muss man beweisen, dass sie sowohl injektiv als auch surjektiv ist.

Am Beispiel

f_{m n} : m ℤ \to n ℤ, x \mapsto \frac{n x}{m}

geht injektiv so:

Wenn

f_{m n} (x) = f_{m n} (y)

gilt, d.h.

\frac{n x}{m} = \frac{n y}{m}

, so gilt (nach Multiplikation mit

\frac{m}{n}

)

x = y

. Also ist

f_{m n}

injektiv.

Surjektiv geht da so: Sei dazu

y \in n ℤ

, d.h. es gibt ein

v \in ℤ

, sodass

y = v \cdot n

gilt. Dann ist

x := m \cdot v \in m ℤ

und es gilt:

f_{m n} (x) = \frac{n x}{m} = \frac{n (m \cdot v)}{m} = n \cdot v = y

. Also ist

f_{m n}

auch surjektiv, also insgesamt bijektiv.

Mfg Michael

Pfaffi aktiv_icon

15:23 Uhr, 25.10.2009

Danke jetzt hab ich verstanden wie ich das beweisen kann, ich bin einfach nicht auf die idee gekommen ein zweites element als vergleich heranzuziehen.

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