Mathematik online lernen im Mathe-Forum. Nachhilfe online

Startseite » Forum » Beweis der Divergenz und Konvergenz für spezielle

Beweis der Divergenz und Konvergenz für spezielle

Universität / Fachhochschule

Folgen und Reihen

Tags: Folgen und Reihen

Sophia77 aktiv_icon

00:48 Uhr, 09.01.2025

Hallo zusammen,

ich habe hier eine Frage zu einer Aufgabe. Könnt ihr mir bitte helfen, meine Lösung zu überprüfen? Vielen Dank im Voraus!

Hallo zusammen,

ich habe eine Frage zu Aufgabe 3 und würde mich über eure Unterstützung freuen!

(a)
Gegeben ist die Folge

a_{n}

mit:

lim_{n \to \infty} a_{2 n} = 0

und

lim_{n \to \infty} a_{2 n + 1} = 1

.

Zu zeigen: Die Folge

a_{n}

ist divergent.

Nehmen wir an, die Folge

a_{n}

sei konvergent. Es existiert ein Grenzwert

c \in ℝ

, sodass gilt:

\forall ε > 0, \exists N \in ℕ, \forall n \geq N : ∣ a_{n} - c ∣ < ε

.

Gerade Teilfolge:
Da

lim_{n \to \infty} a_{2 n} = 0

, gilt:

\forall ε > 0, \exists N_{1} \in ℕ, \forall n \geq N_{1} : ∣ a_{2 n} - 0 ∣ < ε

.

Ungerade Teilfolge:
Da

lim_{n \to \infty} a_{2 n + 1} = 1

, gilt:

\forall ε > 0, \exists N_{2} \in ℕ, \forall n \geq N_{2} : ∣ a_{2 n + 1} - 1 ∣ < ε

.

Setze

ε = \frac{1}{2}

. Wähle

N = max (N_{1}, N_{2})

, dann gilt:
- Für

n \geq N

und

n = 2 k

(gerade):

a_{2 n} \in (- \frac{1}{2}, \frac{1}{2})

,
- Für

n \geq N

und

n = 2 k + 1

(ungerade):

a_{2 n + 1} \in (\frac{1}{2}, \frac{3}{2})

.

Da die geraden und ungeraden Teilfolgen unterschiedliche Wertebereiche haben, kann die Folge

a_{n}

keinen gemeinsamen Grenzwert

c

besitzen.

Schlussfolgerung:
Die Folge

a_{n}

divergiert.

(b)
Gegeben ist die Folge

a_{n}

mit:

lim_{n \to \infty} a_{2 n} = c

und

lim_{n \to \infty} a_{2 n + 1} = c

, für ein

c \in ℝ

.

Zu zeigen:

lim_{n \to \infty} a_{n} = c

.

Gerade Teilfolge:
Da

lim_{n \to \infty} a_{2 n} = c

, gilt:

\forall ε > 0, \exists N_{1} \in ℕ, \forall n \geq N_{1} : ∣ a_{2 n} - c ∣ < ε

.

Ungerade Teilfolge:
Da

lim_{n \to \infty} a_{2 n + 1} = c

, gilt:

\forall ε > 0, \exists N_{2} \in ℕ, \forall n \geq N_{2} : ∣ a_{2 n + 1} - c ∣ < ε

.

Setze

N = max (N_{1}, N_{2})

. Für alle

n \geq N

gilt:
- Für

n = 2 k

(gerade):

∣ a_{2 n} - c ∣ < ε

,
- Für

n = 2 k + 1

(ungerade):

∣ a_{2 n + 1} - c ∣ < ε

.

Da diese Bedingung für alle

n \geq N

gilt, folgt:

\forall ε > 0, \exists N \in ℕ, \forall n \geq N : ∣ a_{n} - c ∣ < ε

.

Schlussfolgerung:

lim_{n \to \infty} a_{n} = c

.

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

HAL9000

08:38 Uhr, 09.01.2025

Deine Argumentation bei (a) ist nicht komplett schlüssig:

Aus

a_{2 n} \in (- \frac{1}{2}, \frac{1}{2})

sowie

a_{2 n + 1} \in (\frac{1}{2}, \frac{3}{2})

für genügend große

n

kann allein nicht geschlossen werden, dass

(a_{n})

keinen Grenzwert besitzt - Beispiel:

a_{n} = \frac{1}{2} - \frac{{(- 1)}^{n}}{n}

Für diese Folge trifft das ebenso zu, sie besitzt aber den Grenzwert

\frac{1}{2}

.

Du solltest also

ε

noch etwas kleiner wählen, z.B.

ε = \frac{1}{3}

, dann klappt deine Schlussweise.

-----------------------------------------------------------

Alternativ könnte man bei a) auch indirekt argumentieren:

Aus der Konvergenz der Teilfolgen ergibt sich, dass es ein

N_{1}

gibt mit

∣ a_{2 n} ∣ < \frac{1}{4}

für alle Indizes

n \geq N_{1}

, und ein

N_{2}

mit

∣ a_{2 n + 1} - 1 ∣ < \frac{1}{3}

für alle

n \geq N_{2}

,

Angenommen,

(a_{n})

besitze den Grenzwert

g

. Dann muss es auch ein

N_{3}

geben mit

∣ a_{n} - g ∣ < \frac{1}{4}

für alle

n \geq N_{3}

.

Sei nun

N = max {N_{1}, N_{2}, \frac{N_{3}}{2}}

, dann gilt gemäß Dreiecksungleichung

1 = 4 \cdot \frac{1}{4} > ∣ a_{2 N} ∣ + ∣ g - a_{2 N} ∣ + ∣ a_{2 N + 1} - g ∣ + ∣ 1 - a_{2 N + 1} ∣ \geq ∣ a_{2 N} + g - a_{2 N} + a_{2 N + 1} - g + 1 - a_{2 N + 1} ∣ = 1

,

Widerspruch.

mathadvisor aktiv_icon

11:33 Uhr, 09.01.2025

Warum jedesmal mit

ɛ

? Dieses Bedingung für Konvergenz benutzt man nur sehr selten. Es gibt meist einfachere Wege.
Dann achte auf die Formulierungen und Begriffe, z.B. "Gerade Teilfolge" gibt es nicht. Als Lehramtlerin musst Du (vermutlich) nicht die letzten Beweistricks beherrschen, dafür kommt es umso mehr auf die richtige Verwendung der Begriffe an.
Zur Aufgabe: Hattet Ihr den Satz, dass bei einer konvergente Folge auch jede Teilfolge konvergiert und zwar gegen den gleichen Grenzwert?

pwmeyer aktiv_icon

17:49 Uhr, 09.01.2025

Hallo,

Deine Idee für

b)

ist richtig. Allerdings bist Du mit den Bezeichnungen etwas durcheinander gekommen. Wenn man die

N_{1}

und

N_{2}

so einführt, wie Du es getan hast, dann wähle

N := max {2 \cdot N_{1}, 2 \cdot N_{2} + 1}

Dann gilt für

k > N :

Entweder

k = 2 \cdot n

mit

n > N_{1} \Rightarrow | a_{k} - a | = | a_{2 n} - a | < ε

Oder

k = 2 \cdot n + 1

mit

n > N_{2} \Rightarrow . .

Diese Frage wurde automatisch geschlossen, da der Fragesteller kein Interesse mehr an der Frage gezeigt hat.

1589322

1589313

	Status: nicht eingeloggt	Noch nicht registriert?