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Beweis der Dreiecksungleichung für eine Metrik

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Tags: Dreiecksungleichung, Folgen und Reihen, Metrik, Sonstiges

birdfreeyahoo aktiv_icon

04:33 Uhr, 08.07.2015

Hallo, ich habe eine Frage und hoffe jemand kann mir helfen.
Es geht um eine spezielle Metrik (ich hoffe ich hab den Themenbereich richtig gewählt), für die ich die Dreiecksungleichung beweisen will, um zu zeigen, dass es eine Metrik ist.

Die Metrik sieht folgendermaßen aus:

ρ (x, y) = | \frac{x}{1 + | x |} - \frac{y}{1 + | y |} |

x, y \in X = R

(reelle Zahlen)

Damit weiß ich ja auch, dass

| x - z | = | x - y | + | y - z |

Jedoch hilft mir das nichts, ich kommt nicht drauf was ich machen muss.
Vielleicht liegt es einfach daran, dass ich mit Betragsstrichen nicht wirklich gut rechnen kann.

Danke schon mal im Voraus.

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Hierzu passend bei OnlineMathe:

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:

Dreiecke und Kongruenz

pwmeyer aktiv_icon

08:39 Uhr, 08.07.2015

Hallo,

schau Dir zunächst mal die Formel an in der Zeile "Damit weiß ich ja auch, dass" und korrigiere sie.

Dann schreib mal die Dreiecksungleichung für

ρ

hin, also

ρ (X, Z) \leq

?
und setze die Definition von

ρ

ein.

Dann vergleiche beide Formeln.

Gruß pwm

birdfreeyahoo aktiv_icon

14:58 Uhr, 08.07.2015

Hallo, erstmal danke für die Antwort.
Ich weiß nicht, was falsch ist an der Formel die ich geschrieben habe, weil
auf dem Zahlenstrahl der (euklidische) Abstand zwischen 2 Zahlen ja so stimmt (wie Vektoraddition, also von

x

nach

y

nach

z)

.

Ich habe die Dreiecksungleichung schon aufgeschrieben in der Form, aber ich kann noch nichts sinnvolles erkennen, obwohl ich länger überlegt habe.

Ich habe verstanden warum es so ist, aber noch nicht rechnerisch:

Wenn ich den Bruch als Funktion habe:

f (x) = \frac{x}{1 + | x |}

dann ist das wie als würde ich den Zahlenstrahl transformieren.
Dann habe ich nicht mehr

- 3, - 2, - 1, 0, 1, 2, 3

sondern

- \frac{3}{4}, - \frac{2}{3}, - \frac{1}{2}, 0, \frac{1}{2}, ...

.

Bei dieser Transformation bleibt die Ordnung erhalten und wir haben dann eine euklidische Metrik

ρ (x, y) = | f (x) - f (y) |

für die die Dreiecksungleichung natürlich gilt.

Ich weiß nur nicht wie ich das formal bzw. rechnerisch beweisen kann.

pwmeyer aktiv_icon

15:03 Uhr, 08.07.2015

Hallo,

dann nimm doch in Deiner Formel mal

x = z = 1

und

y = 2

und überprüfe sie.

Dei Darstellung

ρ (x, y) = | f (x) - f (y) |

ist schon mal eine gute Idee. Jetzt formulier mal, was zu zeigen ist

- d . h

. schreibe die Dreiecksungleichung für

ρ

in dieser Darstellung auf.

Gruß pwm

birdfreeyahoo aktiv_icon

15:46 Uhr, 09.07.2015

Meine Formel funktioniert nur mit

\geq

oder?

Ich habe das jetzt aufgeschrieben und wie schon gesagt, ist das so ähnlich wie bei der euklidischen Metrik.
Ich habe auch verstanden warum das so ist, nur weiß ich nicht wie ich das rechnerisch zeigen soll.

Ich habe mir aber einen Beweis überlegt, ich weiß aber nicht ob der so gilt:

Ohne Beschränkung der Allgemeinheit gelte, dass

f (z) > f (x)

.
Fall

1 : f (y) \geq f (x) \land f (y) < f (z)

Dann gilt, dass

ρ (x, z) = f (z) - f (x) \leq f (y) - f (x) + f (z) - f (y) = f (z) - f (x) □

Fall

2 : f (y) > f (z)

Dann gilt, dass

ρ (x, z) = f (z) - f (x) \leq f (y) - f (x) + f (y) - f (z) = 2 f (y) - f (x) - f (z)

Gilt, da

f (y) > f (z)

und damit rechte Seite größer

Fall 3:

f (y) < f (x)

Dann gilt, dass

ρ (x, z) = f (z) - f (x) \leq f (x) - f (y) + f (z) - f (y)

f (z) - f (y) > f (z) - f (x)

aufgrund der Fallbedingung und

f (x) - f (y) > 0

aus gleichem Grund, daher auch bewiesen.

Ich hoffe, der Beweis ist so korrekt, ich habe was gelesen, dass ich die Cauchy-Schwarze Ungleichung verwenden kann, aber damit bin ich nicht weitergekommen.

pwmeyer aktiv_icon

20:58 Uhr, 09.07.2015

Hallo,

die Dreiecksungleichung wäre doch

ρ (x, z) \leq ρ (x, y) + ρ (y, z)

Konkret

| f (z) - f (x) | \leq | f (y) - f (x) | + | f (z) - f (y) |

Mir ist noch nicht klar, ob Du das gezeigt hast

Gruß pwm

birdfreeyahoo aktiv_icon

22:06 Uhr, 09.07.2015

Ja genau, ich habe für jeden Fall gezeigt, dass die linke Seite kleiner gleich die rechte ist.

Bei Fall 1 ist es Gleichheit, da kommt nach dem Ausrechnen dasselbe raus.
Bei Fall 2 ist, weil

f (y) > f (z)

angenommen wird, am Ende mehr als

f (z) - f (x)

übrig, denn

f (y) - f (z)

ist größer

0,

und dann bleibt noch

f (y) - f (x),

was auch größer als

f (z) - f (x)

ist.

Bei Fall 3 ist auch die rechte Seite größer, denn

f (z) - f (y) > f (z) - f (x),

weil

f (y) < f (x)

und

f (x) - f (y) > 0,

ebenfalls weil

f (y) < f (x)

. Dann bleibt in der Summe etwas größeres als

f (z) - f (x)

.

Bei jeder der 3 Fälle lösen sich die Beträge nämlich anders auf, je nachdem was größer ist, weiß ich dann was rauskommt, weil ich dann weiß wann das Ergebnis positiv ist. Wenn ich Subtrahend und Minuend vertausche kommt das gleiche bloß negativ heraus, aber wegen den Betragsstrichen kommt das positive heraus, und das ist mir ja durch die Voraussetzungen bekannt.

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