Mathematik online lernen im Mathe-Forum. Nachhilfe online

Startseite » Forum » Beweis der Gruppenaxiome für einen Körper.

Beweis der Gruppenaxiome für einen Körper.

Universität / Fachhochschule

Gruppen

Körper

Tags: Gruppen, Körper, rational Zahlen

Dazbog aktiv_icon

17:39 Uhr, 26.09.2020

Hallo zusammen
Ich habe mit folgender Aufgabe einige Schwierigkeiten:
Sei

n \in N

. Zeige, dass die Menge

G = Q [\sqrt{n}] = {a + b \cdot \sqrt{n} | a, b \in Q} \subset R

mit der üblichen Addition und Multiplikation einen Körper bildet.

Ich habe mir folgendes überlegt:
Da die Menge eine Teilmenge von

R

ist, übertragen sich die Rechengesetze von

R

automatisch auf Q. Das bedeutet, dass das Kommutativ-, Assoziativ- und Distributivgesetz nicht mehr beweisen werden müssen.

Folgende Elemente müssen bewiesen werden:

Für

{G, +} :

Es existiert ein neutrales Element

(G 2)

und ein inverses Element

(G 3)

z = a_{1} + b_{1} \sqrt{n}

G 2 : 0_{k} \in Q =

neutrales Element
für

z \in G

gilt:

a_{1} \cdot O_{k} = 0_{k} \cdot a_{1} = a_{1}

G 3 : - z \in Q =

inverses Element

- z \cdot z = z \cdot - z = 0_{k}

Für

{G, +}

existiert somit ein neutrales und inverses Element.

Zudem muss gelten:
Für

{G, \cdot} :

Es existiert ein neutrales Element

(G 2)

und ein inverses Element

(G 3)

G 2 : 1_{k} \in Q

z \cdot 1_{k} = (a_{1} + b_{1} \sqrt{n}) \cdot 1_{k} = 1_{k} \cdot (a_{1} + b_{1} \sqrt{n}) = 1_{k} \cdot a_{1} + 1_{k} \cdot b_{1} \sqrt{n} = z_{1}

G 3 : \frac{1}{z} \in Q

\frac{1}{z} \cdot z = \frac{1}{a_{1} + b_{1} \sqrt{n}} \cdot (a_{1} + b_{1} \sqrt{n}) = (a_{1} + b_{1} \sqrt{n}) \cdot \frac{1}{a_{1} + b_{1} \sqrt{n}} = 1_{k}

Meine Frage lautet nun: Ist dieser Beweis vollständig?
oder muss für jedes inverse bzw. neutrale Element die Zugehörigkeit zu

Q

bewiesen werden?

Herzlichen Dank für jede Hilfe.

Liebe Grüsse

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Hierzu passend bei OnlineMathe:

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:

Raummessung

DrBoogie aktiv_icon

17:54 Uhr, 26.09.2020

"Meine Frage lautet nun: Ist dieser Beweis vollständig?"

nein

"oder muss für jedes inverse bzw. neutrale Element die Zugehörigkeit zu Q bewiesen werden?"

Ja. Für neutrale Elemente ist da nichts zu beweisen, das sind einfach 0 bzg. + und 1 bzg.

\cdot

. Aber für das multiplikative Inverse muss noch gezeigt werden, dass es in

ℚ [\sqrt{n}]

liegt.

Dazbog aktiv_icon

18:01 Uhr, 26.09.2020

Würde es reichen wenn ich folgendes ergänzen würde:

Da

a_{1} + b_{1} \sqrt{n} \in Q

ist

{(a_{1} + b_{1} \sqrt{n})}^{- 1} = \frac{1}{a_{1} + b_{1} \sqrt{n}} \in Q

.

Falls nein: was müsste ich beachten?

michaL aktiv_icon

18:07 Uhr, 26.09.2020

Hallo,

beim multiplikativen Inversen will das noch nicht so recht passen.
Bedenke: Die Elemente sind von folgender Form:

a + b \sqrt{n}

Nun kommst du mit

\frac{1}{a + \sqrt{n}}

.

Findest du nicht, dass die beiden Formen sich sehr wenig ähneln?
Bei dem letzten ist die letzte angewendete Operation die Division.
Bei der ersten eine Addition.
Das musst du in Einklang bringen!

Mfg Michael

Dazbog aktiv_icon

18:12 Uhr, 26.09.2020

Meine Überlegung war die Folgende:

Was muss mit

a + b \sqrt{n}

multipliziert werden um das neutrale Element zu erhalten.

hieraus schloss ich auf:

\frac{1}{a + b \cdot \sqrt{n}}

weil:

a + b \sqrt{n} \cdot (\frac{1}{a + b \cdot \sqrt{n}}) = 1_{k}

Ich verstehe nicht genau wo der Fehler liegt...

Dazbog aktiv_icon

18:13 Uhr, 26.09.2020

Meine Überlegung war die Folgende:

Was muss mit

a + b \sqrt{n}

multipliziert werden um das neutrale Element zu erhalten.

hieraus schloss ich auf:

\frac{1}{a + b \cdot \sqrt{n}}

weil:

a + b \sqrt{n} \cdot (\frac{1}{a + b \cdot \sqrt{n}}) = 1_{k}

Ich verstehe nicht genau wo der Fehler liegt...

michaL aktiv_icon

18:16 Uhr, 26.09.2020

Hallo,

ja, du hast insofern recht, als dass der Körper

ℚ [\sqrt{n}]

Teilkörper von

ℝ

ist und das multiplikative Inverse insofern das gleiche sein wie das in

ℝ

.

Ich versuche nochmal über eine Analogie dir zu zeigen, wo das Problem steckt:

Beweise, dass

(ℕ, +, 0, -)

eine Gruppe ist.
Ich beschränke mich mal auf das (additive) Inverse: Ist

n \in ℕ

, so ist auch

- n \in ℕ

.

Dein Argument ist diesem sehr ähnlich.

Mfg Michael

ermanus aktiv_icon

18:23 Uhr, 26.09.2020

Hallo,
kleine Bemerkung meinerseits:
wie sieht es denn mit der Abgeschlossenheit bzgl. "

+

" und "

*

" aus?
Oder habe ich deren Nachweis übersehen?
Gruß ermanus

DrBoogie aktiv_icon

18:24 Uhr, 26.09.2020

Du musst halt

\frac{1}{a + b \sqrt{n}}

in der Form

a_{1} + b_{1} \sqrt{n}

schreiben, denn nur solche Zahlen liegen in

G

.

Hinweis: nutze

(a + b \sqrt{n}) (a - b \sqrt{n}) = a^{2} - n b^{2}

ermanus aktiv_icon

18:29 Uhr, 26.09.2020

Noch 'ne Bemerkung:
wir sollten unterscheiden zwischen "

n

ist eine Quadratzahl" und
"

n

ist keine Quadratzahl".

michaL aktiv_icon

18:34 Uhr, 26.09.2020

Hallo,

recht wahrscheinlich beginnt die Aufgabe mit den Worten: "Sei

n \in ℕ

keine Quadratzahl."

Dazbog aktiv_icon

18:35 Uhr, 26.09.2020

Vielen Dank für den Hinweis, ich glaub ich habs: :-)

\frac{1}{a + b \sqrt{n}} = \frac{1}{a + b \sqrt{n}} \cdot \frac{a - b \sqrt{n}}{a - b \sqrt{n}} = \frac{a}{a^{2} - b^{2} n} - \frac{b \sqrt{n}}{a^{2} - b^{2} n} = a^{- 1}

Einverstanden? oder habe ich wieder einen Fehler gemacht...

Dazbog aktiv_icon

18:37 Uhr, 26.09.2020

Nein, ich habe die Aufgabe 1 zu 1 abgeschrieben.

ermanus aktiv_icon

18:43 Uhr, 26.09.2020

Naja, der Fall

n

Quadratzahl ist trivial, da dann ja

G = ℚ

gilt, also

G

ein Körper ist.

HAL9000

15:42 Uhr, 28.09.2020

Der Verzicht auf die Bedingung "

n

ist keine Quadratzahl" birgt auf jeden Fall potentiellen Ärger bei einer "gemeinsamen" Darstellung:

Zum einen gilt im Fall "

n

Quadratzahl", dass es zu jedem Element

g \in G

mehrere (besser gesagt: unendlich viele) Repräsentanten

(a, b)

mit

g = a + b \sqrt{n}

gibt. Zum anderen öffnen sich Beweislücken - nehmen wir z.B. die Umformung von Dazbog für das Inverse

a^{- 1}

in dem Spezialfall

a = b

und

n = 1

: Da stehen dann dort Terme

\frac{0}{0}

...

D.h. besser so vorgehen, wie ermanus es gesagt hat: Im Fall "

n

Quadratzahl" darauf verweisen, dass dann

G = ℚ

ist und somit bekanntermaßen ein Körper. Daher kann man sich dann bei den weiteren Überlegungen auf "

n

ist keine Quadratzahl" beschränken, und somit o.g. Ärger vermeiden.

Diese Frage wurde automatisch geschlossen, da der Fragesteller kein Interesse mehr an der Frage gezeigt hat.

1512901

1512723

	Status: nicht eingeloggt	Noch nicht registriert?