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Beweis der Parallelogrammgleichung
Schüler Fachschulen, 12. Klassenstufe
Tags: Analysis
 
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anonymous 19:34 Uhr, 23.03.2004  |
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Hallo! Ich suche den Beweis der sog. Parallelogrammgleichung. (Die Quadrate über den Seiten eines Parallelogramms sind zusammen genauso groß wie die Quadrate über den Diagonalen) Die Ausgangsformell müsste lauten: |AB|² + |BC|² + |CD|² + |DA|² = |AC|² + |BD|² Ich hoffe ihr könnt mir helfen! |
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anonymous 01:43 Uhr, 24.03.2004 |
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Hi hallo! Zuerst die Skizze: Die Strecke AB heiße a Die Strecke BC heiße b Die Strecke CD heiße a (Gleichheit) Die Strecke DA heiße b (-"-) Die Strecke AC heiße m Die Strecke BD heiße n In A liege der Winkel {alpha} In B liege der Winkel {beta} In C liege der Winkel {alpha} (Gleichheit) In D liege der Winkel {beta} (-"-) Sei oBdA {alpha} < 90° Dann existiert ein Punkt Q auf AB so, dass DQ senkrecht auf AB steht. Definiere AQ := x ; DQ := y Und es gilt: y²=b²-x² Wird nun die Länge a um x im Punkt B erweitert, ergibt sich ein Rechtwinkliges Dreieck mit den Katheten (a+x) und y, sowie der Hypothenuse m. Es gilt: m²=(a+x)²+y² m²= a²+2ax+x²+b²-x² m²=a²+2ax+b² Wird nun die Länge a um x im Punkt Q verkürzt, ergibt sich erneut ein Rechtwinkliges Dreieck mit den Katheten (a-x) und y, sowie der Hypothenuse n. Es gilt: n²=(a-x)²+y² n²= a²-2ax+x²+b²-x² n²=a²-2ax+b² Also ist m²+n² = (a²+2ax+b²)+(a²-2ax+b²) = 2a²+2b² = 2(a²+b²) Die Quadrate der Parallelogrammseiten sind: a²+b²+a²+b² = 2(a²+b²) Also gilt: Die Quadrate über den Seiten eines Parallelogramms sind zusammen genauso groß wie die Quadrate über den Diagonalen. QED |
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Hallo Christian, dein Beweis ist dann aber im Prinzip nur ein Beweis für einen Speziallfall (und für {alpha}=90° => Rechteck => Behauptung klar wegen Pythagoras sollte man ergänzen, oder {alpha} <= 90° o.B.d.A. voraussetzen): > "Dann existiert ein Punkt Q auf AB so, dass DQ senkrecht auf AB steht." Im Allgemeinen ist das nämlich (leider) falsch (wenn ich es richtig verstehe: "auf AB" meint doch: der Punkt Q liegt auf jeden Fall weder "links von A" noch "rechts von B", wenn du die Punkte wie folgt benennst: links unten: A rechts unten: B rechts oben: C links oben: D). Vielleicht kann man das auch o.B.d.A. annehmen durch geeignetes Umbenennen der Seiten im anderen Fall, aber so auf die Schnelle sehe ich das nicht ein. Ich begründe aber, dass dieser Punkt Q nicht auf AB liegen muss: Sei |AB|=2cm und {alpha}=45° (und damit < 90°). Ferner sei |AD|=8cm. Dann gilt: |DQ|=[Wurzel(2)/2]*8cm=4*Wurzel(2)~=4*1,41cm=5,64cm, wenn Q das Lot von D auf AB (bzw. eine Verlängerung von AB über B hinaus) ist. Damit gilt aber auch: |AQ|~=5,64cm => |AQ| > |AB|=2cm. Demnach liegt Q "rechts von B" und damit nicht mehr "auf AB". Wenn man den Fall, dass Q außerhalb von AB liegt, nicht irgendwie auf diesen Fall zurückspielen kann (dazu hab ich mir noch keine Gedanken gemacht, und dazu ists mir nun auch zu spät), so muss man diesen Fall halt gesondert betrachten (wie man es (meines Wissens nach) z.B. auch bei "einem" Beweis des Kosinussatzes macht (es gibt ja mehr als einen ;-) Beweise sind keine Highlander (i.A.) ;-) )). Hoffentlich habe ich nun auch alle Klammmern wieder geschlossen, die ich geöffnet habe ;-) Ich wollte nur an dieser Stelle darauf aufmerksam machen. Es könnte sogar sein, dass dieser Fall für deinen Beweis keine Rolle spielt(?). Du kannst es dir ja mal überlegen (und deine Antwort dazu bitte noch mitteilen). Mir ist es nun zu spät dafür ;-) PS: Bitte nimm mir das nicht übel, aber hier: > "Definiere AQ := x ; DQ := y" meinst du wohl eher: "Definiere x:=AQ ; y:=DQ", oder irre ich da? (ist aber nur ne Formsache!) Fasse das ganze bitte nicht als "Zerstörrung deines Beweises" oder sonstwas böswilliges auf (so ist es nicht gemeint), sondern nur als konstruktive Kritik. Ich bin eigentlich auch immer dankbar, wenn meine "vorschnellen Schlüsse" angezweifelt werden und ich dann gezwungen bin, das ganze neu zu überdenken. Der Beweis ist ansonsten auch wirklich sehr elegant, weil er halt übersichtlich ist und man nur wenige Kenntnisse braucht! (ich gehe einfach mal davon aus, das unter diesen "Annahmen" ansonsten alles korrekt ist; beim flüchtigen Lesen schien das der Fall zu sein!) Denk dir von mir aus auch: "Die spinnen, die Mathestudenten..." ;-) Viele Grüße Marcel |
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Hallo ihr da, wenn man sich die Mühe nimmt, den Beweis von Christian wirklich zu lesen und nachzuvollziehen, dann erkennt man, dass er absolut richtig ist und keinesfalls nur einen Spezialfall darstellt! Vielleicht könnt ihr mit folgender Ueberlegung auch etwas anfangen. Mit den Bezeichnungen von Christian gilt nach dem Kosinussatz, auf das Dreieck mit den Seiten a,b und n angewendet: n² = a² + b² -2ab.cos(alpha) auf das Dreieck mit den Seiten a,b und m angewendet: m² = a² + b² -2ab.cos(beta) Wenn du nun diese beiden Gleichungen addierst, erhältst du folgendes: n² + m² = a² + b² -2ab.cos(alpha) + a² + b² -2ab.cos(beta) und damit weiter n² + m² = 2(a² + b²) -2ab(cos(alpha) + cos(beta)) Weil nun 2 alpha + 2 beta 360 Grad ergeben, gilt: beta = 180 - alpha Mit cos(beta) = cos(180-alpha) = -cos(alpha) ergibt sich sofort cos(alpha) + cos(beta) = 0 in obiger Gleichung eingesetzt kommt sofor das gewünschte Resultat heraus: n² + m² = 2(a² + b²) Viele Grüsse Paul |
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Hallo Paul, ich habe nie behauptet, dass er falsch ist, sondern unvollständig (insbesondere sollte man nicht o.B.d.A {alpha} < 90°, sondern {alpha} <= 90° voraussetzen, oder halt das Rechteck zumindest erwähnen) ;-) Warum ist das kein Spezialfall? Heute Nacht war mir zwar nicht klar, dass man, wenn Q außerhalb von AB liegt, mit Christians Methode genauso vorgehen kann (ich habe mir nun die Mühe gemacht, das zu überprüfen ;-)), aber er benutzt in seinem Beweis dennoch die Folgerung: >"Dann existiert ein Punkt Q auf AB so, dass DQ senkrecht auf AB steht.", und, wenn er die Strecke AB und nicht die Gerade durch AB meint (ansonsten meint er mit AB aber auch immer die Strecke AB), dann ist diese Folgerung im Allgemeinen einfach falsch (ich habe doch ein Gegenbeispiel angegeben), weil sie nur für bestimmte Parallelogramme gilt. (hier nochmal das Gegenbeispiel: |AB|=2cm, {alpha}=45° und |AD|=8cm erfüllt: {alpha} < 90°, aber der zugehörige Punkt Q liegt nicht(!!!) auf AB, sondern auf der Geraden durch AB und rechts von B!; und wenn man es nicht nachrechnen will, so kann man dieses Parallelogramm ja einfach mal zeichnen, dann "sieht" man das auch!) Man muss zumindest erwähnen, dass der Fall, dass Q "außerhalb von AB liegt", genauso behandelt werden kann wie der Fall, dass Q "auf AB liegt". Das mag jetzt penibel klingen, aber: Tut man dies nicht, so ist der Beweis unvollständig. Ich denke, da wird mir jede Mathestudentin/jeder Mathestudent zustimmen, denn gerade an solchen Stellen ziehen die Korrekteure immer und immer wieder Punkte ab (auch, wenn man diese Art von Aufgaben eher nicht zu behandeln hat; aber angenommen, man bekäme solche Aufgaben... ;-)). Darauf wollte ich an dieser Stelle nur hinweisen... Viele Grüße Marcel |
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Hallo Marcel, du hast ja völlig Recht: den Spezialfall alpha = 90 Grad hätte man erwähnen sollen oder eben noch besser alpha <= 90 Grad voraussetzen sollen. Im weiteren fehlt ja nur die Begründung, warum alpa <= 90 als oBdA angenommen werden darf: dass man dann halt den jetzigen Punkt D mit A bezeichnen soll, den jetzigen Punkt A mit B, den jetzigen Punkt B mit C und den jetzigen Punkt C mit D. Entsprechendes für die Winkel- und Seiten-Bezeichnungen. Sorry, ich wollte dir und deiner Akribie keinesfalls zu Nahe treten. Mit freundlichen Grüssen Paul |
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Hallo Paul, Sorry für meine Akribie. Aber manchmal ist es wichtig, dass man wirklich alle Fälle abhandelt. Meine "Akribie" kommt vielleicht durch mein Studium. Tut mir leid, dass es an dieser Stelle (vielleicht) überflüssig war. Es war halt auch ziemlich spät, als ich den Beweis gelesen hab und da war es mir halt nicht klar, dass der andere Fall (Q außerhalb von AB) nicht wirklich "einer neuen Methode" bedarf. Ich entschuldige mich einfach mal an dieser Stelle dafür! Ich wollte damit auch niemanden "auf die Füße treten", falls ich es dennoch getan haben sollte, so entschuldige ich mich nochmals dafür... Viele Grüße Marcel |
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anonymous 10:55 Uhr, 24.03.2004 |
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Hallo! Vielleicht hätte ich einfach nur erwähnen sollen, dass, wenn {alpha} > 90° ist, die komplette Konstruktion nicht über D, sondern über C abläuft. Deshalb ist es völlig in Ordnung, oBdA zu schreiben Trotzdem vielen Dank für eure Diskussion ;-) |
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anonymous 11:14 Uhr, 24.03.2004 |
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Hi MarcelHu. Um es noch genauer zu formulieren: Es existiert immer eine Strecke a und eine Strecke b. oBdA sei a >= b und sei {alpha} <= 90° Das kann ich alles annehmen, da ich keine Aussage darüber treffe, welcher Punkt A B C oder D ist. Falls wie von dir beschrieben unten links A liegt - dann gegen den Uhrzeigersinn B C D folgen, wäre nach schulischer Überlegung AB = a ... Und falls weiterhin gilt, dass a < b, wüprde meine Konstruktion nicht funktionieren. ABER: Was sollte mich davon abhalten, das Parallelogramm auf die lange Seite zu kippen, diese als a zu definieren, sowie den spitzen Winkel (oder Rechten Winkel) als {alpha} im Punkt A zu definieren? Nichts! Dein Beispiel {alpha} = 45°, AB = 2cm AD = 8cm würde tatsächlich nicht funktionieren... wenn ich es als gegeben hinnehmen würde. Wenn ich es aber (der Schwerkraft folgend) auf die Seite BC fallen lasse, und den Punkt C als A' definiere (D:=B' A:=C' B:=D'), dann gilt meine Konstruktion allgemein. |
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anonymous 11:21 Uhr, 24.03.2004 |
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Jaja! Ich definiere immer noch falsch rum. A':=C B':=D C':=A D':=B "Die Spinnen, die Mathematikstudenten!" ;-) |
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Hallo Christian, ist schon in Ordnung. Ich sagte ja: Heute Nacht war mir das nicht sofort klar (und ich konnte den anderen Fall nicht "herauslesen", war halt zu spät). ;-) >"Was sollte mich davon abhalten, das Parallelogramm auf die lange Seite zu kippen, diese als a zu definieren, sowie >den spitzen Winkel (oder Rechten >Winkel) als {alpha} im Punkt A zu definieren? Nichts!" Wie gesagt, dass stand halt nirgendwo (oder hab ich's überlesen?) ;-) >"Und falls weiterhin gilt, dass a < b, wüprde meine Konstruktion nicht funktionieren." Manchmal nicht, manchmal doch, das hängt auch vom Winkel {alpha} ab. Aber genug mit solchen Kleinigkeiten... ;-) Ich wollte ja nur auf diese "Kleinigkeiten" aufmerksam machen. Dass es an und für sich unwichtig ist, ist mir jetzt auch klar geworden. ;-) >"Wenn ich es aber (der Schwerkraft folgend) auf die Seite BC fallen lasse,..." Ist ne gute Idee, das mit der Schwerkraft ;-) Viele Grüße Marcel |
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anonymous 14:35 Uhr, 24.03.2004 |
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Hallo Marcel! Nicht nur für Dich war's gestern spät. Auch für mich. Nach mehreren Ansätzen den pädagogisch wertvollsten auszusuchen und dann ausformulieren... Naja, da vergisst man halt schon mal die ein oder andere Voraussetztung. Aber ich freue mich ja, dass Antworten korrekturgelesen werden. Und wie sagt man doch: "Wer keine Fragen mehr offen lässt, hat die Diskussion abgewürgt!" ;-) |
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anonymous 22:01 Uhr, 06.05.2004 |
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Hi! Sorry schon mal für meine vielleicht unqualifizierte Frage... Also, ich kann die Rechnungen in der ersten Antwort wirklich gut nachvollziegen, jedoch habe ich mir nun eine Frage gestellt. Warum errechnen wir durch die Konstruktion dieser beiden rechtwinkligen Dreiecke den Flächeninhalt der Quadrate über den Diagonalen? Kann mir das jemand in möglichst einfachen Sätzen erklären??? Danke im Vorraus Maggie |
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anonymous 19:15 Uhr, 03.12.2004 |
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Hi, Marcel! Ich habe Deine Korrekturen für Christians Beweis gelesen und bin ganz beeindruckt, wie du dich dahinterklemmst! Hut ab, und anbei- wenn du das Thema so gut verstanden hast, vielleicht hast du dann ja auch einen Hinweis für mich, ich muß nämlich an der TU Berlin den Beweis führen, das dieses Prinzip auch auf vektorieller Ebene funktioniert: Z.z. wäre, dass auf(R^3, + , R,*) kein Skalarprodukt der Form s: R^3 x R^3 --> R, s (x,y)= Summe 3x(k)g(k)y(k) mit g(k) € R {1,2,3}derart existiert, daß die Vektoren u= (1,1,0), v=(0,1,1)und w=(1,0,1) € R^3 paarweise senkrecht aufeinander stehen sowie die Parallelogrammgleichung ||x+y||^2 + ||x-y||^2 = 2||x||^2 + 2||y||^2 für K=R oder K=P.S.: Da ich momentan daheim kein Internet habe- PC kaputt-, sitze ich in nem Internetcafe: Die "^"bedeuten "Potenz", also Hoch, die (k) sind Fußindizes... Ganz liebe Grüße vom "Ostfriesen in Berlin", Imke |
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hallo ..... ich wollte mal fragen ob du mir das mit parallelooogramm erklären kannst
A=g mal h????????????????? wie rechne ich dann bei einer textaufgabe mit zaunberechnung????? |
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