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Beweis der Stetigkeit der Exponentialfunktion

Universität / Fachhochschule

Stetigkeit

Tags: Stetigkeit

fraweg aktiv_icon

13:57 Uhr, 24.09.2012

Hallo zusammen,

ich habe in meinem Script ein Beweis bezüglich der Stetigkeit der Exponetialfunktion gesehen welchen ich nicht ganz nachvollziehen kann. Es wäre Super wenn mir jemand mal Schritt für Schritt sagen könnte was da passiert und vor allem warum.

Erinnerung: exp:

ℂ \to ℂ,

exp(z):=

\sum_{i = 0}^{\infty} \frac{z^{n}}{n!}

Behauptung: exp:

ℂ \to ℂ

stetig auf

ℂ

Beweis:

1)

Stetigkeit in

z_{0} = 0 :

Sei

ε > 0

. Setze:

δ := \frac{ε}{1 + ε} < 1

Sei

z \in ℂ

mit

| z - 0 | < δ,

dann folgt daraus:

|exp(z) - exp(0)|

= | \sum_{i = 1}^{\infty} \frac{z^{n}}{n!} | \leq \sum_{i = 1}^{\infty} \frac{| z^{n} |}{n!} \leq \sum_{i = 1}^{\infty} {| z |}^{n} = | z^{n} | \sum_{i = 0}^{\infty} {| z |}^{n} = | z | \frac{1}{1 - | z |} \leq \frac{δ}{1 - δ} = ε

2)

z_{0}

beliebig: sei

ε > 0,

aus

1)

folgt :

Es existiert ein

δ > 0

für alle

z \in ℂ

mit

| z | < δ

mit der Eigenschaft:

|exp(z)-exp(0)|

\leq ε

/exp(z_0)|

Insbesondere: Für alle

z \in ℂ

mit

| z - z_{0} | < ε :

\leq

|exp(z_0)

ε

/|exp(z_0)|=

ε

Danke schon mal im Vorraus!
Frank

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich bräuchte bitte einen kompletten Lösungsweg." (setzt voraus, dass der Fragesteller alle seine Lösungsversuche zur Frage hinzufügt und sich aktiv an der Problemlösung beteiligt.)

Hierzu passend bei OnlineMathe:
Stetigkeit (Mathematischer Grundbegriff)

Shipwater aktiv_icon

14:44 Uhr, 24.09.2012

Du musst schon etwas konkreter werden. Was genau verstehst du weshalb nicht?
Das

ε - δ - K r i t e r i u m

kennst du aber?

fraweg aktiv_icon

21:43 Uhr, 24.09.2012

Hallo und Danke für deine Antwort!

Ja die Definition für Stetigkeit kenne ich.

Also:

Zum ersten Teil:

1)

Setze:

δ := \frac{ε}{1 + ε} < 1,

Ist das nur eine geratene Annahme?

2)

|exp(z) - exp(0)|

= | \sum_{i = 1}^{\infty} \frac{z^{n}}{n!} |,

da kann ich nicht folgen hätte da was mit

| \sum_{i = 0}^{\infty} \frac{z^{n}}{n!} - 1 |

erwartet.

3)

| \sum_{i = 1}^{\infty} \frac{z^{n}}{n!} | \leq \sum_{i = 1}^{\infty} \frac{| z^{n} |}{n!},

warum ist das so?

4)

\sum_{i = 1}^{\infty} {| z |}^{n} = | z^{n} | \sum_{i = 0}^{\infty} {| z |}^{n},

auch da komme ich nicht mit. Was passiert da?

5)

| z^{n} | \sum_{i = 0}^{\infty} {| z |}^{n} = | z | \frac{1}{1 - | z |},

was passiert hier?

6)

| z | \frac{1}{1 - | z |} \leq \frac{δ}{1 - δ},

Wo ist hier das

| z |

hin was vor

\frac{1}{1 - | z |}

steht und wieso gilt das

\leq

?

Zum 2. Teil:

1)

| z | < δ

mit der Eigenschaft:|exp(z)-exp(0)|

\leq ε

/exp(z_0)| Warum steht das da? Woher kommt die Annahme? Das folgt aus

1)

2)

3)

|exp(z-z_0) - exp(0)| ≤ |exp(z_0) ε /|exp(z_0)| , Das dieses gilt kann ich auch nicht erkennen.

Vielleicht bin ich zu doof aber ich raffe das nicht.Ich denke mir fehlen Erfahrungen im Umgang. Verstehen möchte ich es trotzdem.Deswegen die Bitte:

"Es wäre Super wenn mir jemand mal Schritt für Schritt sagen könnte was da passiert und vor allem warum."

Schon mal vielen Dank
Frank

Shipwater aktiv_icon

22:28 Uhr, 24.09.2012

1)

Mehr oder weniger schon. Hat auch was mit Erfahrung zu tun. Aber eigentlich sieht man nicht gleich wie

δ

zu wählen ist, sondern betrachtet zuerst

| f (z) - f (z_{0}) |

. Nur im wirklichen Beweis rollt man das meistens andersherum auf, so als wäre

δ

aus dem Himmel gefallen.

2) \sum_{n = 0}^{\infty} \frac{z^{n}}{n!} - 1

kannst du schreiben als

\frac{z^{0}}{0!} + \sum_{n = 1}^{\infty} \frac{z^{n}}{n!} - 1 = 1 + \sum_{n = 1}^{\infty} \frac{z^{n}}{n!} - 1 = \sum_{n = 1}^{\infty} \frac{z^{n}}{n!}

3)

Dreiecksungleichung für unendliche Reihen (sollte in eurem Skript bewiesen worden sein)

4)

Indexverschiebung:

\sum_{n = 1}^{\infty} {| z |}^{n} = \sum_{n = 0}^{\infty} {| z |}^{n + 1} = \sum_{n = 0}^{\infty} {| z |}^{n} \cdot | z | = | z | \cdot \sum_{n = 0}^{\infty} {| z |}^{n}

Vor dem Summenzeichen ist also ein Schreibfehler in deiner Lösung. Anstatt

| z^{n} |

steht da nur

| z |

.
Zur Indexverschiebung: de.wikipedia.org/wiki/Indexverschiebung

5)

Wie gesagt ist das eine ein Schreibfehler und

\sum_{i = 0}^{\infty} {| z |}^{n} = \frac{1}{1 - | z |}

für

| z | < 1

ist die geometrische Summenformel. Wurde zu

100 %

in eurem Skript bewiesen. Und

| z | < 1

ist dank der Wahl von

δ = \frac{ε}{1 + ε} < 1

ja gewährleistet.

6)

Das sollte man vielleicht lieber als

\frac{| z |}{1 - | z |} \leq \frac{δ}{1 - δ}

schreiben. Und das gilt weil

| z | < δ < 1

.
Den Rest kannst du dir jetzt vielleicht selbst erdenken mit den bisherigen Tipps.

fraweg aktiv_icon

00:34 Uhr, 25.09.2012

Hallo Shipwater,

vielen, vielen Dank für deine Mühe. Heute ist es schon etwas spät für mich. Werde es mir morgen mal ansehen. Vieleicht schnallt der Lowbrain das dann auch mal ;-)

Bis denne,
Frank

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