Mathematik online lernen im Mathe-Forum. Nachhilfe online

Startseite » Forum » Beweis der Unendlichkeit der natürlichen Zahlen

Beweis der Unendlichkeit der natürlichen Zahlen

Universität / Fachhochschule

Sonstiges

Elementare Zahlentheorie

Tags: Elementare Zahlentheorie, Mengenlehre, natürliche Zahlen, Peano-Axiome

wuz3r aktiv_icon

13:30 Uhr, 28.01.2020

Liebes Forum,

ich benötige Hilfe beim Verständnis des folgenden Beweises:

Definition: Eine Menge

X

heißt endlich, falls

X

leer ist, oder falls es ein

n

∈ N\

{

0} und
eine Bijektion von

{1,

. . .

, n}

auf

X

gibt. Ist eine Menge nicht endlich, so heißt sie
unendlich.

Satz: Die Menge

N

der natürlichen Zahlen ist unendlich.

Beweis: Wir nehmen an,

N

sei endlich. Dann gibt es ein

m

∈ N\

{

0} und eine Bijektion ϕ
von N\

{

0} auf

{1,

. . .

, m}

. Somit ist ψ

:=

ϕ|

{

1, . . .

, m}

eine Injektion von

{1,

. . .

, m}

in sich.
Also ist ψ eine Bijektion von

{1,

. .

., m}

auf sich. Folglich gibt es ein

n

∈

{1,

. .

., m}

mit ϕ(n) = ψ(n) = ϕ(m

+ 1),

was der Injektivität von ϕ widerspricht.
Also ist

N

unendlich.

Mein Problem liegt bei folgender Definition: "ψ

:=

ϕ|

{

1, . . . , m}". Der Trennstrich | wurde in meinem Buch als Symbol dafür eingeführt, dass eine Zahl

x

Teiler einer anderen Zahl

y

ist:

x | y

. Ich verstehe nicht was in diesem Kontext damit gemeint ist, soll die Abbildung ein Teiler sein? Der Rest ist mir soweit klar. Danke für jede Hilfe!

PS: Jedes "N" oder

N

im diesem Text bezeichnet die Menge der natürlichen Zahlen.

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Hierzu passend bei OnlineMathe:

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:

Mengenlehre