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Beweis der (additiven) Jordan-Chevalley-Zerlegung

Universität / Fachhochschule

Eigenwerte

Matrizenrechnung

Tags: Ähnlichkeit, Eigenwert, Jordan-Chevalley-Zerlegung, Jordansche Normalform, Matrizenrechnung

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14:04 Uhr, 21.05.2018

Hallo,

ich habe ein kleines Problem mit der folgenden Aufgabe:

Es sei

A \in M a t_{n \times n} (K)

eine Matrix, deren charakteristisches Polynom in Linearfaktoren zerfällt.
Zeigen Sie: Es gibt eine Zerlegung

A = A_{D} + A_{N},

mit

A_{D}, A_{N} \in M a t_{n \times n} (K)

mit folgenden Eigenschaften:

(i)

A_{D}

ist diagonalisierbar

(ii)

A_{N}

ist nilpotent

(iii) Es gilt:

A_{D} \cdot A_{N} = A_{N} \cdot A_{D}

__{_}__{_}__{_}__{_}__{_}__{_}__{_}__{_}__{_}__{_}__{_}__{_}__{_}__{_}__{_}__{_}__{_}__{_}__{_}__{_}__{_}__{_}__{_}__{_}__{_}__{_}__{_}__{_}__{_}__{}

Bis zur Aussage (iii) bin ich ganz gut klargekommen.

Es gilt:

Das charakteristische Polynom

χ_{A} (t) \in K [t]

von A zerfällt in Linearfaktoren

(Vorlesung)

\Rightarrow A

ist ähnlich zu einer Jordanmatrix

J

\Rightarrow \exists P \in G L_{n} (K) : A = P^{- 1} \cdot J \cdot P

Dabei lässt sich die Jordanmatrix als Summe von zwei Matrizen

J_{D}

und

J_{N}

beschreiben, wobei

J_{D}

eine Diagonalmatrix ist, deren Einträge die Eigenwerte der Matrix A sind, und

J_{N}

eine obere Dreiecksmatrix mit den Diagonaleinträgen 0 ist.

\Rightarrow A = P^{- 1} \cdot (J_{D} + J_{N}) \cdot P = P^{- 1} \cdot J_{D} \cdot P + P^{- 1} \cdot J_{N} \cdot P = A_{D} + A_{N}

Dabei gilt, dass

A_{D}

diagonalisierbar ist, da durch

A_{D} = P^{- 1} \cdot J_{D} \cdot P

gegeben ist, dass

A_{D}

ähnlich ist zu einer Diagonalmatrix ist.

A_{N}

ist nilpotent, da durch

A_{N} = P^{- 1} \cdot J_{N} \cdot P

gegeben ist, dass

A_{N}

ähnlich zu einer Jordanmatrix zum Eigenwert Null ist, da die Diagonaleinträge von

J_{N}

Null sind.

Die Gleichung

A_{D} \cdot A_{N} = A_{N} \cdot A_{D}

muss ich nur noch zeigen, was mir jedoch schwer fällt.
Ich muss wahrscheinlich zeigen, dass

P^{- 1} \cdot J_{D} \cdot P \cdot P^{- 1} \cdot J_{N} \cdot P = P^{- 1} \cdot J_{D} \cdot J_{N} \cdot P = P^{- 1} \cdot J_{N} \cdot J_{D} \cdot P

gilt.
Mir fällt jedoch kein richtiger Ansatz ein.
Kann mir da jemand etwas auf die Sprünge helfen?

Liebe Grüße.

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