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Beweis der n-fachen Ableitung mit Induktion

Universität / Fachhochschule

Differentiation

Tags: Analysis, Differentiation, Induktionsbeweis

Wunderbernd aktiv_icon

22:19 Uhr, 15.01.2019

Hallo Leute,

ich brauche ein wenig Hilfe für die Folgende Aufgabe:

Zeigen Sie per Induktion, dass die n-fache Ableitung f(n) von f gegeben ist durch:

f

(n) (x)

= n!

\frac{1}{(1 - x)^{n} + 1}

Ausgangsfunktion ist:

\frac{1}{(1 - x)}

1. Ableitung -->

\frac{1}{(1 - x)^{2}}

(Kehrwertregel)

IA:

\frac{1}{(1 - x)^{2}}

1! \frac{1}{(1 - x)^{1} + 1)}

IV: f

(n) (x)

= n!

\frac{1}{(1 - x)^{n} + 1}

IS: n --> n +1

f

(^{n} + 1) (x)

= n+1!

\frac{1}{(1 - x)^{n} + 2}

Ansatz: f

(^{n} + 1) (x)

= f

(n) ʹ

Dann kann ich ja mit der Kettenregel weiterrechnen.

(

\frac{1}{(1 - x)^{2}}

* n!

\frac{1}{(1 - x)^{n} + 1}

) --> äußere Ableitung

(n!

\frac{1}{(1 - x)^{n} + 1}

) --> innere Ableitung aufgrund der IV

Ist der Denkansatz so halbwegs richtig?

Ps: n+1 oder n+2 sollen beide zusammen in den Exponenten, irgendwie krieg ich das im Latex nicht hin, mehr als 1 Variable/Zahl im Exponenten stehen zu haben.

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Hierzu passend bei OnlineMathe:
Ableitung (Mathematischer Grundbegriff)
Differenzenquotient (Mathematischer Grundbegriff)
Differenzierbarkeit (Mathematischer Grundbegriff)
Ableitung einer Funktion an einer Stelle (Mathematischer Grundbegriff)
Ableitungsfunktion (Mathematischer Grundbegriff)
Ableitungsregeln (Mathematischer Grundbegriff)

Respon

22:28 Uhr, 15.01.2019

Ganz oben vermutlich ein Eingabefehler und in weiterer Folge mehrmals. Setze Klammern !
Du meinst wohl

n! \cdot \frac{1}{{(1 - x)}^{n + 1}}

Respon

22:36 Uhr, 15.01.2019

Ich kann deine Notationen nur sehr schwer interpretieren.
Schau mal:

Sei bereits bewiesen

f^{(n)} (x) = n! \cdot \frac{1}{{(1 - x)}^{n + 1}} = n! \cdot {(1 - x)}^{- n - 1}

f^{(n + 1)} (x) = n! \cdot (- n - 1) \cdot {(1 - x)}^{- n - 1 - 1} \cdot (- 1) = n! \cdot (n + 1) \cdot \frac{1}{{(1 - x)}^{n + 2}} = (n + 1)! \cdot \frac{1}{{(1 - x)}^{n + 2}}

Wunderbernd aktiv_icon

15:37 Uhr, 16.01.2019

Hey,

vielen Dank für die Antwort. Irgendwie spackt Latex bei mir, auch wenn ich Klammern nutze übernimmt es nur 1 Exponenten.

Auf diese Umformung bin ich natürlich nicht gekommen, jetzt ist aber alles klar!

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