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Beweis des Distributivgesetzes für Systeme von Men

Universität / Fachhochschule

Sonstiges

Tags: Mengenlehre, Sonstig

manuelqed aktiv_icon

19:39 Uhr, 19.07.2018

Die Aufgabe lautet: Beweisen Sie das Distributivgesetz

A \cap ⋃_{i \in I} B_{i} = ⋃_{i \in I} (A \cap B_{i})

Mein Ansatz ist zu zeigen das wenn

x

Element von

A \cap ⋃_{i \in I} B_{i}

es ebenfalls Element von

⋃_{i \in I} (A \cap B_{i})

ist.

Die linke Seite

A \cap ⋃_{i \in I} B_{i}

entspricht

{x | x \in A \land \exists i \in I : x \in B_{i}}

Die Rechte Seite

⋃_{i \in I} (A \cap B_{i})

müsste dann

{x | \exists i \in I : (x \in B_{i} \land x \in A)}

Wie kann ich nun die Äquivalenz

{x | x \in A \land \exists i \in I : x \in B_{i}} \Leftrightarrow {x | \exists i \in I : (x \in B_{i} \land x \in A)}

beweisen?

Hierzu passend bei OnlineMathe:

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:

Mengenlehre

michaL aktiv_icon

19:52 Uhr, 19.07.2018

Hallo,

die Äquivalenz "

\overset{}{\Leftrightarrow}

" ist auch nur eine Zusammensetzung von "

\Rightarrow

" und "

\Leftarrow

" (wie auch die Mengengleichheit "

=

" eine Zusammensatzung von "

\subseteq

" und "

\supseteq

" ist).

Damit will ich sagen: Du kannst dich zunächst um eine Richtung kümmern (ICH würde mit "

\Rightarrow

" anfangen) und anschließend überlegen, ob alle Schritte umkehrbar sind.

Mfg Michael

manuelqed aktiv_icon

19:55 Uhr, 19.07.2018

Und wie kann ich das in eine Richtung zeigen?
Mich verwirrt da der Existenzquantor bzw. ich hab keine Ahnung wie ich mit der Prädikatenlogik und Quantoren umgehen soll?

manuelqed aktiv_icon

20:14 Uhr, 19.07.2018

Meine Idee wäre hier eher aus der aussage

(x \in A \land \exists i \in I : x \in B_{i})

so abzuändern, dass daraus

(\exists i \in I : x \in A \land \exists i \in I : x \in B_{i})

Da ja A unabhängig von

i

ist sollte dies doch eine Äquivalenzumformung sein oder?
Dann könnte ich denn Existenzquantor "herausheben" und erhalte

\exists i \in I : (x \in A \land x \in B_{i})

somit hätteich die Äquivalenz gezeigt

Stimmt mein Vorgehen?
mfg

michaL aktiv_icon

20:53 Uhr, 19.07.2018

Hallo,

ich würde es so machen:

"

\Rightarrow

":
Sei

x \in A \cap ⋃_{i \in I} B_{i}

, d.h.

x \in A

und

x \in ⋃_{i \in I} B_{i}

\Rightarrow x \in A \land \exists i_{0} \in I

mit

x \in B_{i_{0}}

.
Das heißt aber gerade, dass

x \in A \cap B_{i_{0}}

gilt.
Wegen

A \cap B_{i_{0}} \subseteq ⋃_{i \in I} (A \cap B_{i})

, folgt

x \in ⋃_{i \in I} (A \cap B_{i})

.

So, nun überlege, wie man das umkehren kann. Evtl. musst du erst die "Warums" der einzelnen Schritte (für dich) klären?!? (Erst dann hat man einen Beweis verstanden!)

Mfg Michael

manuelqed aktiv_icon

12:36 Uhr, 22.07.2018

Dann wäre die Umkehrung:
Sei