Mathematik online lernen im Mathe-Forum. Nachhilfe online

Startseite » Forum » Beweis des Faltungssatzes

Beweis des Faltungssatzes

Universität / Fachhochschule

Tags: Faltung, fourier

Sukomaki aktiv_icon

21:07 Uhr, 18.07.2022

Hallo,

ich bitte um Überschauung meines Beweises des Faltungssatzes.
Stimmt der? Der kommt mir so einfach vor.

Sei

F (f (t)) (ω)

die Fourier-Transformierte von

f (t)

und

(f_{1} * f_{2}) (t) = \int_{- \infty}^{\infty} f_{1} (τ) f_{2} (t - τ) d τ

die Faltung.

Zu zeigen ist, dass die Fourier-Transformierte der Faltung gleich dem Produkt
der Fourier-Transformierten der Ausgangsfunktionen ist.

F ((f_{1} * f_{2}) (t)) (ω) = \int_{- \infty}^{\infty} [\int_{- \infty}^{\infty} f_{1} (τ) f_{2} (t - τ) d τ] e^{- i ω t} d t

\to e^{- i ω t} = e^{- i ω (t - τ + τ)} = e^{- i ω (t - τ)} e^{- i ω τ}

= \int_{- \infty}^{\infty} [\int_{- \infty}^{\infty} f_{1} (τ) f_{2} (t - τ) d τ] e^{- i ω τ} e^{- i ω (t - τ)} d t

= \int_{- \infty}^{\infty} [\int_{- \infty}^{\infty} f_{1} (τ) e^{- i ω t} f_{2} (t - τ) e^{- i ω (t - τ)} d τ] d t

\to z := t - r \Rightarrow \frac{d z}{d t} = 1 \Leftrightarrow d z = d t

= \int_{- \infty}^{\infty} [\int_{- \infty}^{\infty} f_{1} (τ) e^{- i ω τ} f_{2} (z) e^{- i ω z} d τ] d z

= \int_{- \infty}^{\infty} [\int_{- \infty}^{\infty} f_{1} (τ) e^{- i ω τ} d τ] f_{2} (z) e^{- i ω z} d z

(*)

= (\int_{- \infty}^{\infty} f_{1} (τ) e^{- i ω τ} d τ) (\int_{- \infty}^{\infty} f_{2} (z) e^{- i ω z} d z)

= F_{1} (ω) F_{2} (ω)

(*) An dieser Stelle bin ich unsicher, ob ich

f_{2} (z) e^{- i ω z}

aus

\int \dots d τ

heraus ziehen darf, weil

z

ja immer noch irgendwie von

τ

abhängt.

Gruß
Sukomaki

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich benötige bitte nur das Ergebnis und keinen längeren Lösungsweg."

pwmeyer aktiv_icon

11:54 Uhr, 19.07.2022

Hallo,

Du kannst Dein Bedenken umgehen, indem Du die Koo-Trafo nicht eindimensional ansetzt, sondern 2-dimensional:

(τ, t) \to (τ, t - τ)

Gruß pwm

Sukomaki aktiv_icon

13:55 Uhr, 19.07.2022

Was meinst Du mit "Koo"?
Koordinaten, Koeffizienten, Korrelation

\dots

? :-)

Dann muss ich doch mal detaillierter fragen :
Wie sähe das Integral aus, wenn ich die Koo-Trafo zweidimensional ansetze?

pwmeyer aktiv_icon

17:54 Uhr, 19.07.2022

Koordinatentransformation.

Du führst neue Koordinaten, sagen wir

(s, z)

ein mit

(τ, t) = Φ (s, z) = (s, z + s)

Sukomaki aktiv_icon

17:18 Uhr, 20.07.2022

Warum auf einmal

(τ, t) = (s, z + s)

?

Es ging doch um

(τ, t) \to (τ, t - τ)

.

Wenn ich die Koo-Trafo zweidimensional ansetze, bekomme ich dann statt dem Doppelintegral

F ((f_{1} * f_{2}) (t)) (ω) = \int_{- \infty}^{\infty} [\int_{- \infty}^{\infty} f_{1} (τ) f_{2} (t - τ) d τ] e^{- i ω t} d t

ein Dreifachintegral?

Und darf ich denn

f_{2} (z) e^{- i ω z}

\int_{- \infty}^{\infty} [\int_{- \infty}^{\infty} f_{1} (τ) e^{- i ω τ} f_{2} (z) e^{- i ω z} d τ] d z

aus

\int \dots d τ

herausziehen?

Was das "Ich benötige nur das Ergebnis kurz und knapp" betrifft, so habe ich es mir anders überlegt. :-D)

Gruß
Sukomaki

pwmeyer aktiv_icon

11:45 Uhr, 21.07.2022

Hallo,

"Warum auf einmal (τ,t)=(s,z+s)?"

Wenn man neue Koordinaten einführt, sollte man dafür auch neue Variablen-Namen verwenden. Wenn allerdings eine Komponente "bestehen bleibt" - hier

τ = s -

dann ist es auch üblich die neue Variable mit dem alten Namen zu bezeichnen.

Jedenfalls haben wir damit

\int_{- \infty}^{\infty} \int_{- \infty}^{\infty} f_{1} (τ) f_{2} (t - τ) e x p (- i ω t) d τ d t = \int_{- \infty}^{\infty} \int_{- \infty}^{\infty} f_{1} (s) f_{2} (z) e x p (- i ω (s + z)) d s d z

Gruß pwm

Sukomaki aktiv_icon

15:19 Uhr, 21.07.2022

Es ist

(τ, t) = (s, z + s)

Damit sind

s = τ

und

z = t - s = t - τ

Somit bekomme ich - wie Du geschrieben hast :

\int_{- \infty}^{\infty} \int_{- \infty}^{\infty} f_{1} (s) f_{2} (z) e^{- i ω (s + z)} d s d z

= \int_{- \infty}^{\infty} \int_{- \infty}^{\infty} f_{1} (s) f_{2} (z) e^{- i ω s} e^{- i ω z} d s d z

= \int_{- \infty}^{\infty} \int_{- \infty}^{\infty} f_{1} (s) e^{- i ω s} f_{2} (z) e^{- i ω z} d s d z

Jetzt kann ich das machen, was ich schon die ganze Zeit machen wollte :

f_{2} (z) e^{- i ω z}

herausziehen.

So erhalte ich :

\int_{- \infty}^{\infty} [\int_{- \infty}^{\infty} f_{1} (s) e^{- i ω s} d s] f_{2} (z) e^{- i ω z} d z

Das Integral

\int_{- \infty}^{\infty} f_{1} (s) e^{- i ω s} d s

kann ich, weil es nicht von

z

abhängt, ebenfalls aus dem Integral über

z

herausziehen.

Insgesamt erhalte ich also :

(\int_{- \infty}^{\infty} f_{1} (s) e^{- i ω s} d s) \cdot (\int_{- \infty}^{\infty} f_{2} (z) e^{- i ω z} d z) = F_{1} (ω) F_{2} (ω)

Stimmt das jetzt so?

pwmeyer aktiv_icon

18:00 Uhr, 21.07.2022

Ja, ich denke, so stimmt's

Sukomaki aktiv_icon

18:30 Uhr, 21.07.2022

Danke pwmeyer,

war ja dann doch nicht so schwierig.
Nichts mit Dreifach-Integral oder so. :-)

Gruß
Sukomaki

1558949

1558893

	Status: nicht eingeloggt	Noch nicht registriert?