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Beweis des Feuerbachkreises
Schüler Oberstufenrealgymnasium,
Tags: Euler-Punkte, Höhenfußpunkte, Seitenmitten
 
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Hallo :-) Ich habe folgenden Beweis für den Feuerbachkreis im Internet gefunden. Kann aber die beiden Rechenschritte, die ich in ??? bzw. ???? eingeschlossen habe, nicht verstehen. Wäre super, wenn ihr mir helfen könntet! Die Verbindung zweier Seitenmitten ist parallel zur dritten Seite. Damit ist das Viereck Ma Mb Mc Hc ein Trapez. Im (rechtwinkligen) Dreieck ∆BCHc ist MaHc Seitenhalbierende und aufgrund des rechten Winkels bei Hc halb so lang wie die Seite BC (Nachweis durch Thales-Kreis). Nun ist aber auch die Verbindung zweier Seitenmitten halb so lang wie die dritte Seite – ??? . . MbMc=HcMa ??? (warum?) und MaMbMcHc ist sogar ein gleichschenkliges Trapez. Gleichschenklige Trapeze sind gleichzeitig Sehnenvierecke, das heißt → MaMbMcHc hat einen Umkreis. Analog zeigt man, dass auch die beiden anderen Höhenfußpunkte mit den Seitenmitten auf gemeinsamen Umkreisen liegen. Da all diese Umkreise drei gemeinsame Punkte haben, müssen sie zusammen fallen. Wir wissen nun, dass der Umkreis von drei Seitenmitten eines Dreiecks auch durch dessen Höhenfußpunkte verläuft. Damit muss aber auch ein Umkreis der Höhenfußpunkte die Seitenmitten treffen. ????Nun sind die Höhenfußpunkte von ∆ABC auch die Höhenfußpunkte im Dreieck ∆ABH.???? Darüber hinaus sind hier zwei Euler-Punkte (Ea und Eb) Seitenmitten. Damit ist klar, dass der Umkreis von ∆HaHbHc auch durch die Euler-Punkte Ea und Eb geht. Mit einem weiteren Dreieck mit dem Höhenschnittpunkt als Ecke folgt in gleicher Weise, dass auch Ec auf diesem Umkreis liegt. Mir ist schon klar, dass die Verbindung zweier Seitenmitten halb so lang wie die dritte Seite ist, aber warum folgt daraus, dass MbMc=HcMa gilt? Außerdem verstehe ich auch nicht, warum die Höhenfußpunkte von ABC auch die Höhenfußpunkte im Dreieck ABH sind? Danke im Voraus :-) Ich habe eine Skizze zum besseren Verständnis hinzugefügt!  Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert): "Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen." |
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Das Dreieck ist rechtwinklig bei . Also liegt auf dem Thaleskreis über dessen Mittelpunkt ist. Deshalb sind die Strecken und gleich lang, nämlich gleich dem Radius des Thaleskreises und halb so lang wie . Nun ist auch halb so lang wie . Damit ist . ist Höhenfußpunkt im Dreieck . Da auf liegt ist auch Höhenfußpunkt im Dreieck . GRUSS, DK2ZA |
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