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Beweis des Homomorphiesatz für Gruppen

Universität / Fachhochschule

Gruppen

Tags: Gruppen, Homomorphismus

Nowhere aktiv_icon

17:50 Uhr, 15.04.2010

Hallo.

Ich muss den Homomorphiesatz für Gruppen beweisen.

Die Aufgabenstellung lautet:

Sei

φ : G \to H

ein Gruppen-Homomorphismus zwischen Gruppen

G

und

H

. Sei

N

ein
Normalteiler von

G

mit

N \subseteq

Kern

(φ)

. Wir definieren

π : G \to G / N, g \mapsto g N

. Dann gibt
es genau einen Gruppen-Homomorphismus

\bar{φ} : G / N \to H

mit

\bar{φ}

π = φ

.

Bis jetzt habe ich:

i) N \subseteq G

eine Untergruppe bzgl. Addition
ii)

g \cdot a \in N, \forall g \in G, \forall a \in N

ker

(φ) = {g \in G | φ (g) = a}

ein Ideal.

a

in ker

(φ), g \in G, φ (g \cdot a) = φ (g) \cdot φ (a) = φ (g) \cdot 0 = 0

Definiere

\bar{φ} : G / N \to H

durch

\bar{φ} (g + N) := φ (g)

1) \bar{φ}

ist wohldefiniert:
Sei

a \in N

\bar{φ} (g + a + N) = φ (g + a) = φ (g) + φ (a) = φ (g)

Jetzt hab ich natürlich die Frage, ob das schon zuviel oder was falsches ist. Oder würde es
reichen, wenn ich schreibe:

Gegeben seien zwei Gruppen

(G,

° ) und

(H,

° ). Eine Funktion

φ : G \to H

heißt
Gruppenhomomorphismus, wenn

\forall x, y \in G

gilt:

Φ (x

y) = φ (x) \cdot φ (y)

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

hagman aktiv_icon

21:49 Uhr, 15.04.2010

Achtung! Du gehst teils von abelschen Gruppen aus (durch Schreibweise mit

+)

Das allgemeine Element von

G / N

lautet

g N

.
welchen Wert kann

\bar{φ} (g N)

haben, wenn

p a r φ \circ π = φ

gelten soll?
Es muss wegen

g N = π (g)

zwangsweise

\bar{φ} (g N) = φ (g)

gelten.

Damit ist die Eindeutigkeit schon einmal klar. Zu prüfen ist noch

1)

Ist dies wohledefiniert? Folgt also aus

g N = h N,

dass

φ (g) = φ (h)

gilt? (Hast du im Prinzip gerechnet)

2)

Ist dies ein Gruppenhomomorphismus? Die Definition davon hast du notiert, aber zeigen musst du es trotzdem (ist dennoch einfach=)

Nowhere aktiv_icon

22:59 Uhr, 15.04.2010

wäre dann also die definition ungefähr so????

\bar{φ} (g N) \cdot (h N) = \bar{φ} (g h) (N) = φ (g) \cdot φ (h) = \bar{φ} (g N) \cdot \bar{φ} (h N)

oder wie zeigt man es sonst? ich hab da so nen kleinen denkfehler wahrscheinlich, weil ich mir nicht denken kann, wie man das sonst erklärt.

hagman aktiv_icon

07:38 Uhr, 16.04.2010

. .

. bis auf etwas missverständliche Klammerungen:

\bar{φ} (g N \cdot h N) = \bar{φ} (g h N) = φ (g h) = φ (g) \cdot φ (h) = \bar{φ} (g N) \cdot \bar{φ} (h N)

Um genau zu sein: Die Gleichheiten gelten der Reihe nach wegen

N

Normalteiler
Definition von

\bar{φ}

bzw.

\bar{φ} \circ π = φ

φ

Homomorphismus
Definition von

\bar{φ}

bzw.

\bar{φ} \circ π = φ

Nowhere aktiv_icon

10:58 Uhr, 16.04.2010

Hey super. Habs ja doch verstanden scheinbar. Danke dir für deine Hilfe! Hat mir echt gut geholfen, das alles noch besser zu verstehen.

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