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Beweis, direkte summe

Universität / Fachhochschule

Lineare Abbildungen

Tags: Direkte Summe, Endomorphismus, Lineare Abbildungen

anonymous

17:46 Uhr, 07.04.2010

Hallo

Ich soll für den Endomorphismus

φ : V \to V

mit

φ^{2} = φ

zeigen, dass gilt:

V =

Kern

φ \oplus

Bild

φ

Leider weiß ich nicht wie ich das machen soll. Ich weiß dass gelten muss: Kern

φ ⋂

Bild

φ = {0}

. Aber wie weise ich das nach?

LG
Nicole

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Alx123 aktiv_icon

18:07 Uhr, 07.04.2010

Hallo,
es gilt ja natürlich:

B i l d (φ) \subseteq V \land K e r n (φ) \subseteq V

nach der Dimensionsformel gilt dann:

\dim (V) = \dim (K e r n (φ) + B i l d (φ)) = \dim K e r n (φ) + \dim B i l d (φ) - \dim (K e r n (φ) \cap B i l d (φ))

Betrachte:

K e r n (φ) \cap B i l d (φ)

Sei:

x \in K e r n (φ) \cap B i l d (φ)

\Rightarrow φ (x) = 0 \land \exists y \in V : x = φ (y)

0 = φ (x) = φ (φ (y)) = φ (y) \Rightarrow K e r n (φ) \cap B i l d (φ) = {0}

anonymous

10:35 Uhr, 08.04.2010

Reicht das aus, um obiges zu beweisen?
Für lineare Abblildung kennen wir nur diese Dimensionsformel:

dim V = dim

Kern

φ + dim

Bild phi? Deine hatten wir in der Form noch nicht. Wie kommt diese zustande und warum ist

φ (φ (y)) = φ

(y)???

anonymous

11:35 Uhr, 08.04.2010

Ich habe noch eine Frage, wie kann ich zeigen, dass

φ

diagonalisierbar ist?

funnygirl aktiv_icon

18:09 Uhr, 08.04.2010

zu deiner frage warum phi von phi = phi ist (hab grad keine lust es als formel zu schreiben^^)
phi von phi is das gleiche wie phi² und das ist ja in der aufgabenstellung gegeben

lg

anonymous

18:46 Uhr, 08.04.2010

Hallo,
ich sitze grad vor dem gleichen Problem.
Den Beweis warum Kern

ψ \cap

Bild

ψ = {0}

finde ich verständlich.
Mir ist die Dimensionsformel

dim V = dim

Kern

ψ + dim

Bild

ψ

bekannt. Kann ich ohne weiteren Beweis auf die zu zeigende direkte Summe schließen, da ich ja gezeigt habe, dass Kern

ψ \cap

Bild

ψ = {0}

gilt? Wenn nein, wie mache ich das dann?
Grüße

Alx123 aktiv_icon

18:53 Uhr, 08.04.2010

Hallo,

sind

W

und

U

Teilräume von

V

und

V = W + U

dann kann man schreiben:

V = W \oplus V

wenn noch zusätzlich gilt:

V \cap W = {0}

edit:

Ein Vektorraum ist durch die Angabe der Basis und des Skalarenkörpers eindeutig bestimmt.

anonymous

19:09 Uhr, 08.04.2010

das ist mir klar, aber wie sieht es in diesem konkreten Fall aus? Kann ich sagen:
da

dim V = dim

Kern

ψ + dim

Bild

ψ

und des weiteren gilt ja Kern

ψ \cap

Bild

ψ = {0}

folgt mit Bild

ψ \subseteq V

sowie Kern

ψ \subseteq V : V =

Kern

ψ \oplus

Bild

ψ

.
Falls es so nicht vollständig ist, wie zeige ich das besser?

Alx123 aktiv_icon

19:32 Uhr, 08.04.2010

Ja, mit diesen Vorrausetzungen muss die Basis von

W + U

die gleiche sein wie die von

V

.

sobald noch nicht bekannt ist das der Vektorraum

W + U

die gleiche Dimension hat wie

V

ist die Basis von

W + U

eine Teilmenge der Basis von

V

, da die Basen von

W

und

U

ja auch Teilmengen der Basis von

V

sind.

W

und

U

können also auch gleiche Basiselemente besitzen, der Vektorraum

W + U

muss nicht die gleiche Dimension haben wie

V

. Erst wenn bekannt ist das der Durschnittsraum

W \cap V

die Dimension

0

hat, weiss man das die Teilräume verschiedene Basen haben, die aber vereinigt ja die Basis von

V

ergeben müssen.

anonymous

10:34 Uhr, 09.04.2010

ok, das habe ich verstanden, aber wie zeige ich jetzt, dass

φ

diagonalisierbar ist?

Alx123 aktiv_icon

14:47 Uhr, 09.04.2010

Hmm...

Es gilt ja:

Sei

V

ein

n

dimensionaler Vektorraum:

φ : V \to V

ist diagonalisierbar

\overset{}{\Leftrightarrow} \exists B

so das gilt:

M_{B}^{B} (φ) = (\begin{array}{ccc} λ_{1} & \dots & 0 \\ ⋮ & ⋱ & ⋮ \\ 0 & \dots & λ_{n} \end{array})

B

ist natürlich eine Basis von

V

.

Ich glaube mit dem Folgendem kann man mehr anfangen.

Es gilt ja auch:

Jede reelle symmetrische Matrix ist über

R

diagonalisierbar.

Wenn man also zeigen könnte das die Abbildungsmatrix

M_{B}^{A} (φ) \overset{}{\Leftrightarrow} φ : V_{A} \to V_{B}

symmetrisch ist, dann wäre

φ

diagonalisierbar, es gilt ja:

M_{B}^{A} (φ) = M_{B}^{A} (φ \circ φ) = M_{A}^{B} (φ) \cdot M_{B}^{A} (φ)

anonymous

10:46 Uhr, 10.04.2010

In der Vorlesung hatten wir nicht, dass symmetische Matrizen diagonalisierbar sind.

Wie kann ich das über den ersten weg machen?

anonymous

11:07 Uhr, 10.04.2010

Wie genau kann man zeigen, dass die entsprechende Darstellungsmatrix diagonalisierbar ist? Also, wenn man die Diagonalisierbarkeit über diesen Weg beweisen will..

Alx123 aktiv_icon

12:20 Uhr, 10.04.2010

Ah,
da habe ich einfach die Verkettung betrachtet, es gilt ja:

φ (x) = λ x,

und

φ (x) = φ (φ (x))

also:

λ x = φ (x) = φ (φ (x)) = λ φ (x) = λ^{2} x

d.h:

die Abbildung hat ja nur zwei verschiedene Eigenwerte:

λ_{1} = 0, λ_{2} = 1

dann ist mir eingefallen das idempotente Matrizen

A \in M_{n \times n}

nur diese Eigenwerte besitzen. Man kann ihr charakteristisches Polynom auch allgemein so schreiben:

p_{A} (x) = (- 1)^{n} \cdot x^{n - k} \cdot (x - 1)^{k}

es zerfällt also in Linearfaktoren und deshalb ist auch jede idempotente Matrix diagonalisierbar.

anonymous

13:06 Uhr, 10.04.2010

und wie kommt man auf dieses Polynom ? Was ist k??

Alx123 aktiv_icon

13:32 Uhr, 10.04.2010

k \in N

wird man wohl nicht näher bestimmen können, da du auch keine Matrix gegeben hast.
Ist aber auch nicht so wichtig, ich sehe gerade das ich in meinen Buch verschiedene Beweise dazu habe.

edit:

Im Buch habe ich ein Beweis für die allgemeine Form des charakteristischen Polynoms und einen direkten Beweis das imdepotente Matrizen diagonalisierbar sind. Die sind beide etwas länger und wie ich finde nicht sofort verständlich.

Aber ich habs schon, das passt auch viel besser zu der ersten Aufgabe. Es gilt ja:

V = K e r n (φ) \oplus B i l d (φ)

Ein Matrix

A \in M a t_{n \times n} (K)

ist diagonalisierbar wenn sie sich als direkte Summe der Eigenräume ihrer Eigenwerte schreiben lässt.

Es bleibt einfach nur zuzeigen das die zwei Eigenräume das Bild und der Kern sind. Für den Eigenraum zu den Eigenwert

λ

für Endomorphismen gilt ja:

E_{λ} = K e r n (φ - λ i d)

also gilt natürlich:

E_{0} = K e r n (φ - 0 \cdot i d) = K e r n (φ)

E_{1} = K e r n (φ - 1 \cdot i d)

\overset{}{\Leftrightarrow} (φ - 1 \cdot i d) (x) = 0

\overset{}{\Leftrightarrow} φ (x) = x

\overset{}{\Leftrightarrow} B i l d (φ)

anonymous

14:24 Uhr, 10.04.2010

ok, das ist verständlich, aber den vorletzten schritt verstehe ich nicht

Alx123 aktiv_icon

14:26 Uhr, 10.04.2010

Was genau meinst du? Ich sehe gerade ich habe

λ

geschrieben anstatt

1

.
Habs korregiert.

anonymous

14:34 Uhr, 10.04.2010

Dann ist klar :-) Danke

anonymous

16:36 Uhr, 11.04.2010

Danke

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