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Beweis durch Mittelwertsatz

Universität / Fachhochschule

Differentiation

Funktionalanalysis

Funktionen

Tags: Differentiation, Funktion, Funktionalanalysis, Mittelwertsatz

ikshoch2 aktiv_icon

21:04 Uhr, 17.01.2022

Hallo,
ich bräuchte Hilfe bei folgender Aufgabe:

Seien

a, b \in ℝ

und

f : [a, b] \to ℝ, g : [a, b] \to ℝ

stetige Funktionen, die auf

(a, b)

differenzierbar sind. Außerdem gelte

f (a) \geq g (a)

und

f' (x) \geq g' (x)

für alle

x \in (a, b)

.

Zeigen Sie:
Es gilt

f (x) \geq g (x)

für alle

x \in (a, b)

.

Hinweis: Mittelwertsatz

Ich habe hier absolut keinen Ansatz, würde jedoch diese Aufgabe gerne lösen wollen.

MfG

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich bräuchte bitte einen kompletten Lösungsweg." (setzt voraus, dass der Fragesteller alle seine Lösungsversuche zur Frage hinzufügt und sich aktiv an der Problemlösung beteiligt.)

Hierzu passend bei OnlineMathe:
Funktion (Mathematischer Grundbegriff)

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:

Einführung Funktionen

michaL aktiv_icon

21:21 Uhr, 17.01.2022

Hallo,

definiere die Funktion

h : [a, b] \to ℝ

durch

h (x) := f (x) - g (x)

.

Aus den Voraussetzungen folgen gewisse Eigenschaften von

h

, etwa

h (a) = 0

. (Warum das?)
Führe weitere Eigenschaften auf!

Wenn du damit fertig bist, wandle die Conclusio (das, was du zeigen sollst) in eine Aussage über die Funktion

h

um.

Dann reden wir weiter.

Mfg Michael

ikshoch2 aktiv_icon

21:44 Uhr, 17.01.2022

Hi MichaL,

wenn

h : [a, b] \to ℝ

durch

h (x) = f (x) - g (x)

und nach Vorauss.

f (a) \geq g (a),

dann ist

h (a) = 0 \Leftrightarrow f (a) = g (a)

oder nicht(?)

h

ist außerdem nach Vorauss. stetig und diff'bar auf

(a, b)

h' (x) \geq f' (x)

für alle

x \in (a, b)

.

Aus

f (x) \geq g (x) \Rightarrow h (x) \geq f (x),

weil

h (x) = f (x) - g (x)

(?)

Können wir weiter reden? :-P)

michaL aktiv_icon

21:51 Uhr, 17.01.2022

Hallo,

> Können wir weiter reden? :-P))

Müssen wir wohl. Ist beileibe noch nicht alles richtig!!!

> h(a)=0⇔f(a)=g(a) oder nicht(?)
> h ist außerdem nach Vorauss. stetig und diff'bar auf (a,b)

Doch, korrekt. Aber danach...

> h′(x)≥f′(x) für alle x∈(a,b).

Nö.

> Aus f(x)≥g(x)→h(x)≥f(x)

Nochmal nö.

Ansätze vorhanden, aber eben schnell ... wenig exakt.

Kannst du das nochmal überarbeiten?

Mfg Michael

ikshoch2 aktiv_icon

22:03 Uhr, 17.01.2022

Ja, diese Aufgabe macht mir das Leben schwer :-D)

Ich weiß bis jetzt nur, dass

f (a) = g (a) . .

ikshoch2 aktiv_icon

22:07 Uhr, 17.01.2022

Wie haben Sie aus dem Stehgreif die

H

Funktion hergeholt?

michaL aktiv_icon

22:12 Uhr, 17.01.2022

Hallo,

nochmal: nö.

Ok, die Aufgabe ist eigentlich nicht so schwierig.
Mir scheint, dein Problem ist (noch) die exakte Formalisierung. Bevor du das richtig drauf hast, ist es eigentlich nicht so sinnvoll, komplexere Aufgaben zu bearbeiten. Aber, da dies ja eine Anfängeraufgabe ist...

Ok, der Reihe nach.

h (x) := f (x) - g (x)

sei Grundvoraussetzung.

Aus

g (a) \leq f (a) \overset{}{\Leftrightarrow} 0 \leq f (a) - g (a) = h (a)

folgt also

h (a) \geq 0

. Soweit, so klar?

Aus

h (x) := f (x) - g (x)

folgt auch

h ʹ (x) = f (x) - g (x)

. (Klar?)

Aus

g ʹ (x) \leq f ʹ (x) \overset{}{\Leftrightarrow} 0 \leq f ʹ (x) - g ʹ (x)

folgt also

h ʹ (x) \geq 0

. (Klar?)

Zur Nachfrage: Intuition. Mal sehen, ob sie trägt, denn ich hatte in meiner Aufzeichnung irgendwie

f (a) = g (a)

eingeschmuggelt. Muss also nochmal 'ran. :-)

Mfg Michael

PS: Hier ist Siezen eher unüblich.

ikshoch2 aktiv_icon

22:22 Uhr, 17.01.2022

Hi,
ja es ist richtig. Habe eher schwierigkeiten etwas sauber hinzuschreiben als den Sinn an sich zu verstehen.

" Aus g(a)≤f(a)⇔0≤f(a)−g(a)=h(a) folgt also h(a)≥0. Soweit, so klar? "
- Klar.

Aus h(x):=f(x)−g(x) folgt auch hʹ(x)=f(x)−g(x). (Klar?)
Auch. Jedoch hast Du wahrscheinlich hier die

f' (x) - g' (x)

vergessen, oder?

Aus gʹ(x)≤fʹ(x)⇔0≤fʹ(x)−gʹ(x) folgt also hʹ(x)≥0. (Klar?)
Verständlich.

Doch wie zeige ich jetzt das, was ich zeigen soll?

michaL aktiv_icon

22:26 Uhr, 17.01.2022

Hallo,

durch einen Widerspruchsbeweis.

Annahme: Es gibt ein

x \in (a, b)

mit

f (x) < g (x)

.

Was bedeutet das (diese Annahme) nochmal für unsere Funktion

h

?

Mfg Michael

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22:43 Uhr, 17.01.2022

Angenommen, es ist

f (x) < g (x)

.

Dann ist aus

g (a) > f (a) \Leftrightarrow h (a) = f (a) - g (a) < 0

.

Aus

g' (x) > f' (x) \Leftrightarrow h' (a) = f' (a) - g' (a) < 0

michaL aktiv_icon

22:47 Uhr, 17.01.2022

Hallo und ho, ho...immer ruhig mit den jungen Pferden!

Vielleicht ist meine Variablennamenwahl nicht geschickt.
Also nochmal einen Schritt zurück:

Annahme, es gibt ein

x \in (a; b)

, für das

f (x) < g (x)

gilt.
Nennen wir dieses

x

mal ...

z

.

Es gelte (nach Annahme) also

f (z) < g (z)

.

Wie lautet die gleiche Aussage in der

h

-Form? Und nur diese!

Mfg Michael

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23:02 Uhr, 17.01.2022

Hallo,

könnte ich einen Lösungsweg sehen, wie du das machen würdest? Die Aufgabe scheint ja einfach zu sein und so würde ich einen korrekten, sauberen Beweis sehen und mir die Herangehensweise aneignen. Wäre wirklich nett!

MfG

michaL aktiv_icon

23:06 Uhr, 17.01.2022

Hallo,

diese Gelegenheit gab es sicher schon in der Vorlesung oder der Übung. Offenbar hat das nicht so gut geklappt, daher - schätze ich - würde es diesmal wohl auch nicht klappen.

Bringe doch einfach erst einmal die Ungleichung mit

f

und

g

(

f (z) < g (z)

) in die

h

-Form (bedenke:

h (x) = f (x) - g (x)

).

Das sollte doch wirklich machbar sein, oder?

Mfg Michael

ikshoch2 aktiv_icon

23:14 Uhr, 17.01.2022

Bringe doch einfach erst einmal die Ungleichung mit

f

und

g (f (z) < g (z))

in die h-Form (bedenke: h(x)=f(x)−g(x)).

- Okay, es ist

h (z) < 0,

weil

f (z) < g (z)

michaL aktiv_icon

23:17 Uhr, 17.01.2022

Hallo,

korrekt. Nicht gleich aufgeben!!
(Das Durchhaltevermögen ist für angehende [und gestandene] Mathematiker essentiell.)

Nun kannst du daraus den Mittelwertsatz auf die Funktion

h

mit den Werten

z

und

a

anwenden.

Lass mal sehen!

Mfg Michael

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23:28 Uhr, 17.01.2022

Du hast vollkommen recht!

"Nun kannst du daraus den Mittelwertsatz auf die Funktion

h

mit den Werten

z

und a anwenden."

- h

muss ja jetzt stetig und differenzierbar auf

(a, z)

sein, richtig?

Dann gibt es ein

x_{0} \in (a, z)

mit

h' (x_{0}) = \frac{h (z) - h (a)}{z - a}

so?

michaL aktiv_icon

23:30 Uhr, 17.01.2022

Hallo,

genau.
(Ich bin wirklich stolz auf dich, dass du hier weitermachst. Prima!)

Jetzt schau dir mal Nenner und Zähler von

h ʹ (x_{0})

an.
Welches Vorzeichen haben die (einzeln betrachten)?
Ist dann

h ʹ (x_{0}) < 0

oder

h ʹ (x_{0}) > 0

?

(Und dann sind wir auch schon fast da.)

Mfg Michael

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23:32 Uhr, 17.01.2022

Und das soll ja heißen, dass in einem Punkt

x_{0}

die Ableitung

h' (x_{0})

gleich einer mittleren Steigung ist (einer Sekante). Doch wie verhilft es miz jetzt zum Widerspruch?

michaL aktiv_icon

23:38 Uhr, 17.01.2022

Hallo,

indem du weiter den Spuren folgst, die ich ausgestreut habe.

Untersuche, ob du das Vorzeichen von

h ʹ (x_{0})

herausfinden kannst.

Habe noch etwas Vertrauen. Wir haben es ja gleich.

Mfg Michael

ikshoch2 aktiv_icon

23:44 Uhr, 17.01.2022

Danke fürs Lob. Das motiviert mich noch mehr!

""Jetzt schau dir mal Nenner und Zähler von hʹ(x0) hʹ(x0) an.
Welches Vorzeichen haben die (einzeln betrachten)?
Ist dann hʹ(x0)<0 hʹ(x0)<0 oder hʹ(x0)>0 hʹ(x0)>0? ""

- h (z) < 0, h (a) \geq 0

. Naja dann ist

h (z) - h (a) < h (z) < 0

. Also Minus als Vorzeichen.

So. Da

z < a

ist auch Nenner

< 0

. Das heißt

h' (x_{0}) > 0

michaL aktiv_icon

23:45 Uhr, 17.01.2022

Hallo,

Zähler ist ok.
War aber nicht

x_{0} \in (a; z)

?

Mfg Michael

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23:55 Uhr, 17.01.2022

Oh, stimmt. Kleiner Dreher, schon spät :-D)

Es ist

x_{0} \in (a, z)

.

Also

a < z

und deswegen ist

z - a > 0

im Nenner. Also macht das

\frac{f (z) - f (a)}{z - a} < 0

.

Somit hʹ(x0)<0

michaL aktiv_icon

23:57 Uhr, 17.01.2022

Hallo,

korrekt.

Bedenke, dass du damit ein

x_{0} \in (a; z) \subseteq (a; b)

gefunden hast, für das

h ʹ (x_{0}) < 0

ist.

Das ist die

h

-Formulierung. Jetzt ist es an der Zeit, zu der

f

g

-Formulierung zurückzukehren, damit du den Widerspruch erkennen kannst.

Mfg Michael

ikshoch2 aktiv_icon

00:06 Uhr, 18.01.2022

Jetzt wirds wieder schwieriger für mich das auf die

f, g

Formulierung zu übertragen.

michaL aktiv_icon

00:08 Uhr, 18.01.2022

Hallo,

benutze einfach die Definition für

h (x)

.
Schaue in meinem posting von 22:12 Uhr nach. In den Folgerungen!

Mfg Michael

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00:13 Uhr, 18.01.2022

Hattest gesagt, dass " aus gʹ(x)≤fʹ(x)⇔0≤fʹ(x)−gʹ(x) folgt also hʹ(x)≥0. "

Und wir haben eben ein

x_{0}

gefunden wo

h' (x_{0}) < 0

gilt.

Aber in der

f - g

Variante haben wir ja vorher gesagt, dass

f (x) \geq g (x)

.
Beim Wdspr.-Beweis haben wir angenommen, dass

g (z) > f (z)

.

Verwirrt mich gerade in der Hinsicht, dass es sich widersprechen muss, da wir 2 Annahmen haben

michaL aktiv_icon

00:19 Uhr, 18.01.2022

Hallo,

genau da liegt der Hase im Pfeffer!

Aus

f ʹ (x) \geq g ʹ (x)

folgt, dass auch

h ʹ (x) \geq 0

sein muss.

Nun haben wir ein

x_{0}

gefunden, für das aber

h ʹ (x_{0}) < 0

gilt. Das steht im Widerspruch zu

h ʹ (x) \geq 0

, also letztlich zu

f ʹ (x) \geq g ʹ (x)

.

Damit ist der Beweis abgeschlossen.

Zu zeigen war:

f (x) \geq g (x)

Annahme war:

f (x) < g (x)

Daraus haben wir die Existenz eines

x_{0}

abgeleitet, für das

f ʹ (x_{0}) < g ʹ (x_{0})

gilt, was aber im Widerspruch zur Voraussetzung

f ʹ (x) \geq g ʹ (x)

steht.

Also ist die Annahme falsch, und damit die Konklusio richtig, dass

f (x) \geq g (x)

gelten muss.

Mfg Michael

ikshoch2 aktiv_icon

00:24 Uhr, 18.01.2022

Lieber MichaL,

ich muss sagen, dieses durchkämpfen hat mehr als geholfen und viel Verständnis reingebracht. Dazu muss ich gestehen, dass wir in den Übungen sowelche Aufgaben nicht bekommen, dafür aber aus dem Nichts auf den HA's :-D)

Vielen Dank und eine gute Nacht wünsche ich. Bis zum nächsten Mal!

MfG

michaL aktiv_icon

00:26 Uhr, 18.01.2022

Hallo,

> gute Nacht

Redlich verdient.
Prima, dass du durchgehalten hast.

Mfg Michael

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