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Beweis durch vollständige Induktion

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Tags: Sonstig

tompo7 aktiv_icon

19:44 Uhr, 19.04.2019

Habe zu einem Beispiel ein kleines Problem, ich verstehe bei der Induktion von Ungleichungen leider nicht wie man abschätzt, mir kommt vor ich übersehe da immer etwas.

Beispiel: Beweisen Sie mit vollständiger Induktion, dass

k \cdot \sqrt{k} > k + \sqrt{k}

gilt wenn nur

k \in ℕ

groß genug ist. Wie groß muss

k

mindestens sein, begründen Sie Ihre Schritte ausführlich!

Induktionsanfang:

k = 1 : 1 > 2

(falsche Aussage)

k = 2 : 2 \cdot \sqrt{2} > 2 + \sqrt{2}

(falsche Aussage)

k = 3 : 3 \cdot \sqrt{3} > 3 + \sqrt{3}

(wahre Aussage)

->Somit muss

k

mindestens 3 sein!

Induktionsvoraussetzung:

\exists k \in ℕ := k \cdot \sqrt{k} > k + \sqrt{k}

Induktionsbehauptung:

(k + 1) \cdot \sqrt{k + 1} > k + \sqrt{k}

Induktionsschritt:

(k + 1) \cdot \sqrt{k + 1} = k \cdot \sqrt{k + 1} + \sqrt{k + 1} > k + \sqrt{k} . .

.

jetzt muss ich ja Irgendwie die Induktionsvoraussetzung verbauen, da bin ich aber gerade noch überfragt.

LG. Thomas

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Alnura aktiv_icon

19:55 Uhr, 19.04.2019

Du kannst folgendermaßen weiterabschätzen:

(k + 1) \cdot \sqrt{k + 1} = k \cdot \sqrt{k + 1} + \sqrt{k + 1} > k \cdot \sqrt{k} + \sqrt{k + 1}

(weil die Wurzel monoton wachsend ist)

> k + \sqrt{k} + \sqrt{k + 1}

(Weil nach Induktionsvoraussetzung

k \cdot \sqrt{k} > k + \sqrt{k})

> k + 1 + \sqrt{k + 1}

(weil

\sqrt{k} > 1,

da du ja bereits bestimmt hast, dass die Formel nur für

k \geq 3

gilt)
Ich hoffe das hat dir weitergeholfen, LG

tompo7 aktiv_icon

21:30 Uhr, 19.04.2019

Okay, ich versuchs mal nachzuvollziehen, du hast ja im Endeffekt den Term welchen wir vorher ausmultipliziert haben, mit dem selben Term erweitert mit

\sqrt{k + 1}

verglichen, aber warum nehmen wir nicht den anderen Term

k + \sqrt{k}

?

Also:

(k + 1) \cdot \sqrt{k + 1} = k \cdot \sqrt{k + 1} + \sqrt{k + 1} > k + \sqrt{k},

dass fände ich logischer, als deine Lösung (welche natürlich stimmt), ich möchts nur verstehen deshalb frag ich!
LG.

Alnura aktiv_icon

21:43 Uhr, 19.04.2019

Die Abschätzung könntest du auch machen, die bringt dir aber nichts, weil du ja die Induktionsvoraussetzung einsetzten möchtest. Deshalb schätzt du ab, weil

\sqrt{k + 1} > \sqrt{k} :

k \cdot \sqrt{k + 1} + \sqrt{k + 1} > k \cdot \sqrt{k} + \sqrt{k + 1}

Dann kannst du auf den ersten Teil des Terms die Induktionsvoraussetzung anwenden,

d . h

k \cdot \sqrt{k} > k + \sqrt{k}

also in den obigen Term eingefügt:

k \cdot \sqrt{k} + \sqrt{k + 1} > k + \sqrt{k} + \sqrt{k + 1}

Nun weiß man ja, dass

\sqrt{k} > 1

ist, also kann man das wieder einsetzten und erhält:

k + \sqrt{k} + \sqrt{k + 1} > k + 1 + \sqrt{k + 1}

Damit hat man insgesamt gezeigt, dass:

(k + 1) \cdot \sqrt{k + 1} > (k + 1) + \sqrt{k + 1}

Somit wäre die Induktionsbehauptung bewiesen.
Hoffe die einzelnen Schritte sind jetzt etwas verständlicher, LG

abakus

22:10 Uhr, 19.04.2019

Wenn man die zu beweisenden Ungleichung durch

\sqrt{k}

dividiert, erhält sie übrigens die einfachere Form

k > \sqrt{k} + 1

Alnura aktiv_icon

22:23 Uhr, 19.04.2019

Bei der Division müsste doch

k > 1 + \frac{k}{\sqrt{k}}

bleiben, oder habe ich da jetzt was übersehen?

tompo7 aktiv_icon

11:11 Uhr, 20.04.2019

Okay, darf man also bei ungleichungen beliebig ergänzen, also könnt ich auch ein

k^{2}

reinschmeißen,was natürlixh keinen Sinn ergibt, da wir ja die I.V nicht einsetzen können?

Aber warum schreib ich dann den linken Teil überhaupt auf, da kann ich ja gleich den Rechten Term nehmen und mit

k + \sqrt{k}

vergleichen?

LG.Thomas

abakus

13:00 Uhr, 20.04.2019

"oder habe ich da jetzt was übersehen?"
Ja, du hast übersehen, dass

k / \sqrt{k} = \sqrt{k}

gilt.

Alnura aktiv_icon

13:02 Uhr, 20.04.2019

Klar, war wohl schon etwas müde, danke, haha :-)

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