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Beweis durch vollständige Induktion

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tompo7 aktiv_icon

10:47 Uhr, 07.11.2019

Habe ein Problem bei einem Induktionsbeweis, mit einer Abschätzung!

Das Beispiel:

2^{n} > 3 n^{2} + 3

Induktionsanfang:

A (8) :

2^{8} = 256

3 \cdot 8^{2} + 3 = 195

256 > 195

w . A

A (n) \to A (n + 1) :

2^{n + 1} = 2^{1} \cdot 2^{n} > 3 {(n + 1)}^{2} + 3

2 \cdot (3 n^{2} + 3) > 3 {(n + 1)}^{2} + 3

6 n^{2} + 6 > 3 n^{2} + 6 n + 6

6 n^{2} > 3 n^{2} + 6 n

n^{2} > \frac{1}{2} n^{2} + n = \frac{1}{2} n \cdot (n + 1)

2 \frac{n^{2}}{n} = 2 n > (n + 1)

\Rightarrow 2 n > n + 1

gilt für

n

groß genug!

Stimmt mein Induktionsansatz?

Das mit dem Abschätzen klappt noch nicht so ganz

: (

LG. Thomas

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

HAL9000

11:24 Uhr, 07.11.2019

Du hast da einen Rechenfehler drin: Es gilt mitnichten

\frac{1}{2} n^{2} + n = \frac{1}{2} n (n + 1)

.

Insgesamt kann man die Sache erheblich abkürzen:

6 n^{2} + 6 > 3 n^{2} + 6 n + 6 ∣ - 3 n^{2} - 6

3 n^{2} > 6 n ∣ : 3 n

n > 2

Und davon kannst du im Induktionsschritt ausgehen, du hast ja hier mit

n \geq 8

sogar deutlich mehr "vorrätig".

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