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Beweis durch vollständige Induktion. Habe Probleme

Universität / Fachhochschule

Tags: Beweis durch vollständig Induktion

RandomDude aktiv_icon

18:26 Uhr, 26.10.2019

Hallo Leute,

ich benötige bei einer vollständigen Induktion Hilfe, da dies mein erstes Mal ist so einen Beweis zu machen.

Die Behauptung habe ich als Bild rangehängt.
Wie soll ich zuerst vorgehen?
Behautung:

a^{n + 1} - b^{n + 1} = (a - b) \cdot \sum (a^{k} \cdot b^{n - k})

Das Summenzeichen hat die Eigenschaften

k = 0

bis

n

.

Soll ich durch

(a - b)

dividieren oder das sol lassen?
Ich habe dies ausprobiert und auch einmal ohne die Division das versucht, doch beides hat nicht funktioniert.

Ich bin dankbar für alle Tipps und Ansätze die ihr habt.

MfG RandomDude

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

ledum aktiv_icon

19:06 Uhr, 26.10.2019

Hallo
wenn du das mit Induktion machen willst solltest du die Ind. Vors benutzen, ohne Induktion denke ich dividieren.
Gruß ledum

RandomDude aktiv_icon

19:17 Uhr, 26.10.2019

Hallo,

danke erstmal für deine Antwort.
Wenn ich die Ind. Voraus. Benutze kommt doch

a^{n + 1} \cdot b^{n + 1} + (a - b) \cdot a^{n + 1} \cdot b^{n - n + 1}

raus oder irre ich mich?

MfG RandomDude

michaL aktiv_icon

19:25 Uhr, 26.10.2019

Hallo,

um vollständige Induktion anwenden zu können, muss man (ich weiß, das klingt trivial) den Ausdruck

a^{n + 1} - b^{n + 1}

auf den Ausdruck

a^{n} - b^{n}

zurückzuführen.
Mehr als: Das kann man durch die Einführung einer nahrhaften Null erreichen.

Mfg Michael

RandomDude aktiv_icon

19:32 Uhr, 26.10.2019

Hi,

danke für deine Antwort.

wie meinst du das den Ausdruck zurückführen?

Ich habe den Ind. Anfang mit der 0 gemacht und das ging auf.
Oder meinst du etwas anderes?

Ich bitte um weitere Hilfe. Danke

MfG RandomDude

michaL aktiv_icon

19:54 Uhr, 26.10.2019

Hallo,

> Ich habe den Ind. Anfang mit der 0 gemacht und das ging auf.

Ja, das ist beim Induktionsanfang. Wir - also insbesondere du - sprechen doch vom Induktionsschritt?!

> Oder meinst du etwas anderes?

Muss ich wohl.

Ich weiß aber nicht, wie ich es anders ausdrücken kann. Bist du dir sicher, dass du verstanden hast, wie man das Beweisverfahren der vollständigen Induktion anwendet?

Ich mache mal ein anderes Beispiel, damit du siehst, was ich mit "Zurückführen" meine:
Schon der kleine C.F. Gauß wusste, dass

\sum_{k = 0}^{n} k = \frac{n (n + 1)}{2}

für

n \in ℕ

gilt.

Induktionsanfang

n = 0

\sum_{k = 0}^{0} k = 0

\frac{0 (0 + 1)}{2} = 0

, passt also.

Induktionsschritt:

\sum_{k = 0}^{n +} k = n + 1 + \sum_{k = 0}^{n} k

(Hier die Zurückführung!)

\overset{I.V.}{=} n + 1 + \frac{n (n + 1)}{2} = (n + 1) [1 + \frac{n}{2}] = (n + 1) (\frac{2 + n}{1}) = \frac{(n + 1) (n + 2)}{2}

Mfg Michael

RandomDude aktiv_icon

20:03 Uhr, 26.10.2019

Hallo,

danke für deine ausführliche Antwort mit dem Beispiel.
Jetzt habe ich verstanden was du meinst.

Jedoch stell ich mir die Frage warum ich

a^{n + 1} - b^{n + 1}

auf

a^{n} - b^{n}

muss, wie du oben meintest.

Muss ich nicht für die Behauptung den Ausdruck

a^{n + 1} - b^{n + 1} + a^{n + 1} \cdot b^{n - n + 1}

auf den Ausdruck

a^{n + 2} - b^{n + 2}

zurückführen?

MfG RandomDude

michaL aktiv_icon

20:33 Uhr, 26.10.2019

Hallo,

> Muss ich nicht ...

Ja, musst du nicht.
Ich meine: Wenn du es damit hinbekommst, dann mach es so. Wenn nicht (und aufgrund deiner Frage hier dachte ich, dass du es eben nicht schaffst), dann folge doch vielleicht (ich meine nur mal so aus Spaß und zur Abwechslung) den Tipps hier!

Mfg Michael

RandomDude aktiv_icon

20:38 Uhr, 26.10.2019

Hallo,

tut mir leid wenn ich dich mit meinen Fragen nerve. Ist das erste Mal das ich eine vollständige Induktion mache.

Jedoch habe ich durch deinen Ansatz nicht durchgeblickt, deshalb habe ich nochmal nachgefragt bezüglich der Zurückführung.

Weshalb kann ich deine Methode verwenden und

a^{n + 1} - b^{n + 1}

auf

a^{n} - b^{n}

zurückführen und es damit letzendlich beweisen?

Wenn du mir zeigen könntest wie du auf den Ansatz gekommen bist (also vom Rechenweg her) wäre ich dir sehr dankbar.

MfG RandomDude

michaL aktiv_icon

20:56 Uhr, 26.10.2019

Hallo,

nerven tust du nicht, aber vernünftig verhalten eben auch nicht.

Ich verstehe dich ebenso wenig, wie du offenbar mich.

> Weshalb kann ich deine Methode verwenden und
>
> an+1−bn+1 auf
>
> an−bn zurückführen und es damit letzendlich beweisen?

Komische Frage. Weil es funktioniert!?!

> Wenn du mir zeigen könntest wie du auf den Ansatz gekommen bist (also vom Rechenweg her) ...

Was meinst du jetzt? Deine Aufgabe oder das Beispiel, an dem ich die Rückführung demonstriert habe?

Mfg Michael

RandomDude aktiv_icon

20:58 Uhr, 26.10.2019

Hallo,

das Beispiel mit der Rückführung habe ich verstanden. Das war kein Problem.

Ich meine deinen Ansatz von der richtigen Aufgabe mit der ich meine Probleme habe.

Danke für deine Hilfe.

michaL aktiv_icon

21:07 Uhr, 26.10.2019

Hallo,

verstehe ich immer noch nicht.

Es geht doch um folgendes: Nach Indunktionsvoraussetzung sind alle

a^{m} - b^{m}

durch

a - b

teilbar, sofern

m \leq n

gilt.

Jetzt muss an irgendwie die Induktionsvoraussetzung anwenden, damit man sehen kann, dass

a^{n + 1} - b^{n + 1}

auch durch

a - b

teilbar ist.
Wenn du die Induktionsvoraussetzung nicht bräuchtest, könntest du den Beweis auch ohne Induktion führen. Offenbar sollst du Induktion verwenden, das heißt umgekehrt, dass du den Ausdruck

a^{n + 1} - b^{n + 1}

so umwandeln musst, dass er irgendwie ein

a^{n} - b^{n}

beinhält.

Mehr, als dir die Lösung einfach zu verraten, fällt mir auch nicht mehr ein.

Mfg Michael

RandomDude aktiv_icon

21:20 Uhr, 26.10.2019

Hallo,

ich habe deinen Ansatz jetzt so verstanden:

\frac{a^{n + 1} - b^{n + 1}}{a - b} = \sum (a^{k} \cdot b^{n - k})

Jetzt meintest du, dass ich

a^{n + 1} - b^{n + 1}

auf

a^{n} - b^{n}

zurückführen soll.
Wäre das aber auch ein Beweis durch vollständige Induktion ?

Vielleicht hänge ich auch einfach fest weil es mein erster Induktionsbeweis ist.

Kannst du mir den Lösungsweg zeigen. Vielleicht verstehe ich es dann erst.
Danke für deine Geduld.

MfG RandomDude

michaL aktiv_icon

21:23 Uhr, 26.10.2019

Hallo,

nun, es gilt

a^{n + 1} - b^{n + 1} = a^{n + 1} - 0 - b^{n + 1} = a^{n + 1} \underset{nahrhafte Null}{\underset{⎵}{- a b^{n} + a b^{n}}} - b^{n + 1} = a (a^{n} - b^{n}) + (a - b) b^{n}

.

Kannst du jetzt begründen, warum

a^{n + 1} - b^{n + 1}

durch

a - b

teilbar ist, wenn es

a^{n} - b^{n}

ist?

Mfg Michael

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