Mathematik online lernen im Mathe-Forum. Nachhilfe online

Startseite » Forum » Beweis einer kompakten topologien Raumes

Beweis einer kompakten topologien Raumes

Universität / Fachhochschule

Algebraische Topologie

Mengentheoretische Topologie

Tags: Algebraische Topologie, kompakter topologischer Raum, Mengentheoretische Topologie

anonymous

18:28 Uhr, 06.10.2018

Guten Tag ich hab ein Problem mit folgender Aufgabe:
Auf

ℂ^{´} := ℂ \cup {\infty}

sei
1.)

U \subseteq ℂ^{´}

eine Umgebung von

z \in ℂ

, wenn es ein

r = r (z, U) > 0

gibt, sodass

{w \in ℂ : ∣ z - w ∣ < r (z, U}) \subseteq U

ist.
2.)

U \subseteq ℂ^{´}

eine Umgebung von

\infty

, wenn

\infty \in U

und wenn es eine kompakte Teilmenge

K \subseteq ℂ

(bzgl. der Standardtopologie auf

ℂ

) gibt, sodass

ℂ \ K \subseteq U

ist.

Definiere nun

 := {V \subseteq ℂ^{´} :

Für jedes

z \in V

ist

V

eine Umgebung von

z}

Zeige das

(ℂ^{´}, )

ein kompakter topologischer Raum ist.

Vielen Dank schonmal für eure Mühen und Tipps!!
(weiß jemand zufällig, wie das mathematische/topologie O in Latex geht? \mathcal{O} wird bei mir nicht angezeigt)

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich bräuchte bitte einen kompletten Lösungsweg." (setzt voraus, dass der Fragesteller alle seine Lösungsversuche zur Frage hinzufügt und sich aktiv an der Problemlösung beteiligt.)

ermanus aktiv_icon

19:44 Uhr, 06.10.2018

Hallo,
du musst die Heine-Borelsche Überdeckungseigenschaft nachweisen
für dein

ℂ^{.}

. Nimm dir also eine beliebige offene Überdeckung her
und zeige, dass diese eine endliche Teilüberdeckung enthält.
Gruß ermanus

anonymous

16:33 Uhr, 07.10.2018

Der Überdeckungssatz von Heine-Borel besagt ja, dass der topologische Raum

(ℂ^{´}, )

kompakt ist, wenn jede offene Überdeckung

ℂ^{´} = \cup_{i \in I} U_{i}

mit

U_{i} \in 

eine endliche Teilüberdeckung

ℂ^{´} = U_{i_{1}} \cup U_{i_{2}} \cup . . . \cup U i_{n}

mit

i_{1}, . . . i_{n} \in I

besitzt.

Aber wie kann ich jetzt die Überdeckung bzw. dann die Teilüberdeckung definieren? Oder läuft das über einen Widerspruchbeweis, indem ich annehme, dass

ℂ^{´}

nicht kompackt ist?

(Tut mir leid das ich so wenig beisteuer aber ich kann die Definitionen noch so oft durchlesen und komm einfach nicht weiter :-D) )

ermanus aktiv_icon

18:02 Uhr, 07.10.2018

Hallo,
ich bezeichne mal das

ℂ \cup {\infty}

mit

S

,
damit man es besser erkennen kann (

S

= Sphäre soll an die Riemannsche
Zahlenkugel erinnern).
Ist

U

eine Umgebung von

\infty

, so existiert nach Definition
eine kompakte

ℂ

-Menge

K

mit

ℂ \ K \subseteq U

.
Anders ausgedrückt:
Es gibt eine kompakte Menge

K

ℂ

mit

S \ U \subseteq K

.
Sei nun

(U_{i})_{i \in I}

eine offene Überdeckung von

S

.
Dann muss es darunter auch ein

U_{i_{0}}

geben, das eine
offene Umgebung von

\infty

ist. Für dieses

U_{i_{0}}

gibt es dann
eine kompakte Menge

K

ℂ

, so dass

U_{i_{0}} \supseteq ℂ \ K

.
Damit ist dann

(U_{i})_{i \in I, i \neq i_{0}}

eine offene Überdeckung
der kompakten Menge

K

.
Jetzt eine Idee, wie es weitergehen könnte ?

Gruß ermanus

ermanus aktiv_icon

15:13 Uhr, 11.10.2018

"Diese Frage wurde automatisch geschlossen, da der Fragesteller kein Interesse mehr an der Frage gezeigt hat."

OK! Mal wieder ein Student, dem die Mühe, mit der man versucht,
ihm mit einem Beitrag zu helfen, egal ist.
Für alle Interessenten am Thema hier die "Auflösung des Rätsels":

Die

U_{i}

mit

i \neq i_{0}

sind offen on

S

, damit sind die Mengen

\tilde{U_{i}} := U_{i} \ {\infty} = U_{i} \cap ℂ

offen in

ℂ

,
Da

K

eine in

ℂ

kompakte Menge ist, gibt es endlich viele
unter ihnen, die bereits

K

überdecken, etwa

\tilde{U_{i_{1}}}, \dots, \tilde{U_{i_{r}}}

.
Damit ist

U_{i_{0}}, U_{i_{1}}, \dots, U_{i_{r}}

eine endliche Teilüberdeckung von

S

.

Gruß ermanus

Diese Frage wurde automatisch geschlossen, da der Fragesteller kein Interesse mehr an der Frage gezeigt hat.

1441558

1441084

	Status: nicht eingeloggt	Noch nicht registriert?