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Beweis einer kompakten topologien Raumes

Universität / Fachhochschule

Algebraische Topologie

Mengentheoretische Topologie

Tags: Algebraische Topologie, kompakter topologischer Raum, Mengentheoretische Topologie

 
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ichundes

ichundes aktiv_icon

18:28 Uhr, 06.10.2018

Antworten
Guten Tag ich hab ein Problem mit folgender Aufgabe:
Auf ´:={} sei
1.) U´ eine Umgebung von z, wenn es ein r=r(z,U)>0 gibt, sodass {w:z-w<r(z,U})U ist.
2.) U´ eine Umgebung von , wenn U und wenn es eine kompakte Teilmenge K (bzgl. der Standardtopologie auf ) gibt, sodass \KU ist.

Definiere nun :={V´: Für jedes zV ist V eine Umgebung von z}

Zeige das (´,) ein kompakter topologischer Raum ist.


Vielen Dank schonmal für eure Mühen und Tipps!!
(weiß jemand zufällig, wie das mathematische/topologie O in Latex geht? \mathcal{O} wird bei mir nicht angezeigt)

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich bräuchte bitte einen kompletten Lösungsweg." (setzt voraus, dass der Fragesteller alle seine Lösungsversuche zur Frage hinzufügt und sich aktiv an der Problemlösung beteiligt.)
Antwort
ermanus

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19:44 Uhr, 06.10.2018

Antworten
Hallo,
du musst die Heine-Borelsche Überdeckungseigenschaft nachweisen
für dein .. Nimm dir also eine beliebige offene Überdeckung her
und zeige, dass diese eine endliche Teilüberdeckung enthält.
Gruß ermanus
ichundes

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16:33 Uhr, 07.10.2018

Antworten
Der Überdeckungssatz von Heine-Borel besagt ja, dass der topologische Raum (´,) kompakt ist, wenn jede offene Überdeckung ´=iIUi mit Ui eine endliche Teilüberdeckung
´=Ui1Ui2...Uin mit i1,...inI besitzt.

Aber wie kann ich jetzt die Überdeckung bzw. dann die Teilüberdeckung definieren? Oder läuft das über einen Widerspruchbeweis, indem ich annehme, dass ´ nicht kompackt ist?

(Tut mir leid das ich so wenig beisteuer aber ich kann die Definitionen noch so oft durchlesen und komm einfach nicht weiter :-D) )
Antwort
ermanus

ermanus aktiv_icon

18:02 Uhr, 07.10.2018

Antworten
Hallo,
ich bezeichne mal das {} mit S,
damit man es besser erkennen kann (S = Sphäre soll an die Riemannsche
Zahlenkugel erinnern).
Ist U eine Umgebung von , so existiert nach Definition
eine kompakte -Menge K mit \KU.
Anders ausgedrückt:
Es gibt eine kompakte Menge K in mit S\UK.
Sei nun (Ui)iI eine offene Überdeckung von S.
Dann muss es darunter auch ein Ui0 geben, das eine
offene Umgebung von ist. Für dieses Ui0 gibt es dann
eine kompakte Menge K in , so dass Ui0\K.
Damit ist dann (Ui)iI,ii0 eine offene Überdeckung
der kompakten Menge K.
Jetzt eine Idee, wie es weitergehen könnte ?

Gruß ermanus


Antwort
ermanus

ermanus aktiv_icon

15:13 Uhr, 11.10.2018

Antworten
"Diese Frage wurde automatisch geschlossen, da der Fragesteller kein Interesse mehr an der Frage gezeigt hat."

OK! Mal wieder ein Student, dem die Mühe, mit der man versucht,
ihm mit einem Beitrag zu helfen, egal ist.
Für alle Interessenten am Thema hier die "Auflösung des Rätsels":

Die Ui mit ii0 sind offen on S, damit sind die Mengen
Ui~:=Ui\{}=Ui offen in ,
Da K eine in kompakte Menge ist, gibt es endlich viele
unter ihnen, die bereits K überdecken, etwa Ui1~,,Uir~.
Damit ist Ui0,Ui1,,Uir eine endliche Teilüberdeckung von S.

Gruß ermanus
Diese Frage wurde automatisch geschlossen, da der Fragesteller kein Interesse mehr an der Frage gezeigt hat.