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Beweis f ist surjektiv ---> f auch injektiv
Universität / Fachhochschule
Lineare Abbildungen
Tags: Lineare Abbildungen
 
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Ein Hallo an alle die helfen wollen. Also ich habe folgende Frage an eine Aufgabe von einem Übungsblatt. Die Aufgabe lautet: Sei eine nichtleere Menge. Sei eine Abbildung. Zeigen Sie Ist injektiv, so ist surjektiv Ist surjektiv, so ist injektiv Ich habe mir eine Skizze gemacht und dann wörtlich umschrieben wieso es so sein muss. Allerdings habe ich den Eindruck, dass es im Mathematikstudium mehr um das einsätzen von präzisen Ausdrücken geht als ums Umschreiben. Wie kann ich es denn mathematisch beweisen? Habe ein wenig gegooglet und immer wieder was mit und gelesen. Wie kann ich sowas hier anwenden? viele grüße |
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Hallo, lautet die Aufgabe wirklich so oder hast Du etwas unterschlagen? Gruß Rentnerin |
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Die aufgabe lautet wirklich so:-). |
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OK, mit ; f ist injektiv aber nicht surjektiv, also ist die Aufgabe falsch! |
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ouweiha ich hab gesehen, dass ich in der aufgabenstellung einen relevanten teil vergessen habe! Entschuldigung! Sei eine nichtleere ENDLICHE Menge. eine nebensächliche frage hätte ich an deinen post davor. was bedetet ex |
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ist die Exponentialfunktion.
Sei also eine nichtleer, endliche Menge und eine Abbildung, dann sind die folgenden Aussagen äquivalent: a) f ist injektiv b) f ist surjektiv. Beweis: Zu zeigen: Aus injektiv folgt surjektiv. Vollständige Induktion nach . (trivialerweise richtig, da nur ein Element hat und es überhaupt nur eine einzige Abbildung gibt) Sei also und eine injektive Abbildung. Angenommen wäre nicht surjektiv, dann gäbe es ein . Betrachte nun die Menge \ und die Abbildung . ist natürlich weiterhin injektiv und nach Induktionsvoraussetzung sogar surjektiv. Wegen gilt , also gibt es wegen der Surjektivität von ein Element mit aber im Widerspruch zur Injektivität von . Das war der erste Schritt. |
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erstmal vielen dank! aber ich blick noch nicht ganz durch:-D). "n→n+1 Sei also ∣M∣=n+1 und f:M→M eine injektive Abbildung. Angenommen wäre nicht surjektiv, dann gäbe es ein b∈M∣f(m)≠b∀m∈M." Den letzten Teil versteh ich nicht ganz. Also ich probier mal zu verdeutlichen was. es gibt ein Element aus mit . Bedeutet die abbildung von m? und was genau ist m? ich weiß nicht wo das auf einmal her kommt:-D). Oder bedeutet es soviel wie es gibt ein Element dass nicht in der zweiten Menge enthalten ist? "Betrachte nun die Menge und die Abbildung f∣N:N→N. f∣N ist natürlich weiterhin injektiv und nach Induktionsvoraussetzung sogar surjektiv. Wegen f(b)≠b gilt f(b)∈N, also gibt es wegen der Surjektivität von f∣N ein Element n*∈N mit aber n*≠b im Widerspruch zur Injektivität von . Das war der erste Schritt." Puh hier wirds noch schwieriger:-). also es gibt eine Menge ohne ein bestimmtes element . wieso ist wegen der induktionsvorraussetzung auch surjektiv, wo haben wir das bewiesen? und wieso folgt aus f(b)∈N. Das wenn es gibt dies ein Widerspruch sur injektivität ist versteh ich wiederrum. Erst recht weiß ich nicht wie ich so einen Beweis jemals selbst aufstellen soll:(. |
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Sei also ∣M∣=n+1 und f:M→M eine injektive Abbildung. Angenommen f wäre nicht surjektiv, dann gäbe es ein b∈M∣f(m)≠b∀m∈M."
Den letzten Teil versteh ich nicht ganz. Also ich probier mal zu verdeutlichen was. es gibt ein Element b aus M mit f(m). Bedeutet f: die abbildung von m? und was genau ist m? ich weiß nicht wo das auf einmal her kommt:-D)). Bist Du sicher, dass Du den Begriff "Surjektiviät" verstanden hast? Hier hast Du die Menge auf beiden Seiten und nicht surjektiv es gibt ein Element (der rechten) Menge , das nicht als Bild unter vorkommt. Ich habe es "getauft", damit ich besser damit weiterargumentieren kann. Und damit hast Du für alle Elemente : . Bis dahin klar? |
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Ok ich verstehe bis dahin. |
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Die Menge hat Elemente und hierfür soll gezeigt werden, dass jede injektive Abbildung auch surjektiv ist.
Als Induktionsvoraussetzung darf dabei benutzt werden, dass alle injektiven Abbildungen -elementiger Mengen auch surjektiv sind. Jetzt nehme ich geschickt ein einziges Element von heraus und erhalte eine Teilmenge mit Elementen. Die injektive Abbildung muss ich als nächstes auf die Teilmenge einschränken und das schreibt man so: . Diese Einschränkung ist eine injektive Abbildung einer n-elementigen Menge in sich. Bis hierher klar? |
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Wieso MUSS ich auf die Teilmenge einschränken? Aber fahre fort, ich verstehe soweit alles. |
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Du MUSST auf eine geeignete Teilmenge einschränken, weil Du ja die Induktionsvoraussetzung ausnutzen möchtest. Geht später weiter, weil ich jetzt Abendessen zubereiten muss. |
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Nun kann ich für die n-elementige Menge und die injektive Abbildung die Induktionsvoraussetzung anwenden; sie sagt, dass surjektiv ist, also
\ \ ist surjektiv. Vorher hatten wir geschlossen, dass für sämtliche ist also auch und damit muss \ sein. Weil andererseits surjektiv ist und gilt, gibt es ein \ mit . Und weil ist, wäre nicht injektiv. Kommst Du damit klar? |
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"Nun kann ich für die n-elementige Menge und die injektive Abbildung f∣N die Induktionsvoraussetzung anwenden; sie sagt, dass f∣N surjektiv ist, also f∣N:M \ b}→M ist surjektiv. Vorher hatten wir geschlossen, dass f(m)≠b für sämtliche m∈M ist also auch f(b)≠b" ist mir alles klar "und damit muss f(b)∈M sein. Weil andererseits f∣N surjektiv ist und f(b)∈N gilt, gibt es ein n*∈N=M mit . Und weil n*≠b ist, wäre nicht injektiv. " mir fehlt so ein bischen das verständnis für das . war doch ein element aus der "rechten" Menge, dass nicht abgebildet wird weil wir ja davon ausgehen dass die abbildung nicht surjektiv ist. Was bedeutet denn dieser ausdruck: f(b)∈M ? bildet doch nicht ALLE Elemente der Teilmenge ab oder? Das ende meine ich aber zu verstehen. man zeigt dass es ein element gibt für dass dann auch gilt ≠b. dann wäre nicht injektiv und dies wäre ein widerspruch....richtig? |
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Es gibt ein Element von , "AUF DAS NICHT ABGEBILDET"; ich nenne es und damit kann mathematisch geschrieben werden:
für alle . Wenn nun für kein einziges dies gilt, dann auch für , also ist auch nicht gleich und damit \ , d.h. . bildet "ALLE" Elemente von und bildet "ALLE" Elemente von ab. |
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Ok habe ich das mit dem Widerspruch auch richtig verstanden? Dann bedanke ich mich sehr herzlich! Du bist wirklich sehr geduldid;-). Mein Kopf ist jetzt aber auch nicht mehr so ganz fit. Morgen früh probiere ich dann mal den fall alleine zu behandeln. Problem ist nur dass wir nicht wirklich über Beweisverfahren gesprochen haben bisher. Daher fehlt mir oft ein ansatz. aber jetzt habe ich ja schonmal die vollständige induktion kennen gelernt:-). schönen abend noch |
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Dann wünsche ich Dir noch einen angenehmen Abend. |
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ich habe es gerade mal für den anderen fall probiert aber scheitere^^. . Aus surjektiv folgt injektiv vollständige induktion nach für hat man die triviale richtige lösung, da nur ein Element hat und es überhaupt nur eine . gibt. Für Sei also und eine surjektive . . Angenommen wäre nicht injektiv, dann gäbe es 2 Elemente für die gilt . Betrachtet man also die Teilmenge und die . . ist surjektiv und nach der Induktionsvorraussetzung auch injektiv. wie finde ich jetzt einen Widerspruch? mfg |
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Machen wir uns einmal an den zweiten Teil heran. Sei also eine nichtleere endliche Menge und eine surjektive Abbildung. Behauptung: ist injektiv Beweis: durch vollständige Induktion nach : dies ist sicher richtig, weil die Menge nur ein einziges Element hat und die einzige Abbildung surjektiv und injektiv ist. Induktionsvoraussetzung: Die Behauptung sei für alle Mengen mit und alle Abbildungen richtig. Induktionsschluss: Es ist zu zeigen, dass die Behauptung für alle Mengen mit und alle Abbildungen richtig ist. Sei also und eine surjektive Abbildung. Zu zeigen: ist injektiv. Angenommen ist nicht injektiv, dann gibt es Elemente mit und . PAUSE IM BEWEIS! Um die Induktionsvoraussetzung nutzen zu können, musst Du jetzt ein Element aus herausnehmen, aber welches. Beim ersten Teil ging dies mit dem Element, das "KEIN BILD" war. Wenn nämlich ist, dann kannst Du einfach auf \ einschränken: . Das geht deshalb gut, weil für alle auch liegt. Bis hierher alles klar? |
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Bis zu der Stelle PAUSE IM BEWEIS ist mir alles klar. "Um die Induktionsvoraussetzung nutzen zu können, musst Du jetzt ein Element aus herausnehmen, aber welches. Beim ersten Teil ging dies mit dem Element, das "KEIN BILD" war. Wenn nämlich b≠f(m) ist, dann kannst Du einfach auf einschränken: f∣N:N→N. Das geht deshalb gut, weil für alle m∈N auch f(m)∈N liegt. Bis hierher alles klar?" Hier kann ich allerdings nicht ganz folgen. Also wir suchen ein Element. Für dieses Element wollen wir dann zeigen, dass wenn man annimmt ist nicht injektiv, dass dann auch nicht surjektiv wäre...richtig? Und jetzt fragst du welches Element man am besten nimmt. Sollte man nicht am besten 2 Elemente nehmen? |
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Nochmal: Wir haben eine Funktion , die eine -elementige Menge auf sich selbst abbildet und surjetiv ist. Es soll der Nachweis erbracht werden, dass die Abbildung injektiv ist. Du darfst dabei benutzen, dass für jede Abbildung , die eine -elementige Menge mit auf sich abbildet und surjektiv ist, auch injektiv ist. Das ist die Induktionsvoraussetzung! Damit Du das schaffst, solltest Du Dein und Dein nur "geringfügig" verändern. Dabei musst Du mindestens ein Element aus herausnehmen, damit Du überhaupt eine Chance hast, die Induktionsvoraussetzung nutzen zu können. Das wird in der Regel zu Problemen mit der Abbildung führen. Wenn Du nämlich irgend ein Element herausnimmst und dann logischerweise für \ die Einschränkung betrachtest, dann könnte für ein anderes Element , das auf abgebildet wird die Einschränkung nicht definiert sein. Ist Dir das klar? |
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