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Beweis für Extrempunkte zweier Funktionen

Universität / Fachhochschule

Tags: Extrempunkt, f(x), f(x)^2, Funktion, gleich

n1ght aktiv_icon

18:39 Uhr, 29.03.2011

Sei

f (x)

≥ 0 für alle

x

∈ R. Beweisen Sie, dass die Extrempunkte der Funktion

f^{2}

mit den Extrempunkten der Funktion

f

überein stimmen.

Ich habe leider kein Ansatz für den Beweis. Soll ich einfach eine Beispielfunktion nehmen und die quadrieren und dann die Extrempunkte vergleichen?

MFG

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Hierzu passend bei OnlineMathe:
Funktion (Mathematischer Grundbegriff)

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:

Einführung Funktionen

michaL aktiv_icon

18:59 Uhr, 29.03.2011

Hallo,

was darf man über die Funktion

f

voraussetzen? Stetig? Vielleicht sogar differenzierbar?

Im letzteren Fall dürfte man gute Karten damit haben zu zeigen, dass

f ʹ

und

(f^{2}) ʹ

das gleiche Vorzeichen haben!

Mfg Michael

Mauthagoras aktiv_icon

19:05 Uhr, 29.03.2011

Hallo,

die Aufgabe ist so nicht ganz richtig; gemeint sind die „Extremstellen“, denn für

f (x) \neq f^{2} (x)

in einer Extremstelle findet man Beispiele.

Der Hinweis michaL ist richtig; wenn man das hat, kann man das relativ direkt beweisen.
Die gleichen Vorzeichen sind formal nicht notwendig, sondern

f ’

und

(f^{2}) ’

müssen lediglich die gleichen Nullstellen haben; diese Bedingung wäre etwas schwächer, würde uns aber trotzdem das Gewünschte liefern.

Und dann musst Du noch argumentieren, warum in einer Nullstelle von

f ’

, wo

f ’ ’

ungleich Null ist, auch die zweite Ableitung von

f^{2}

ungleich Null ist.

Zusammengefasst:
Zeige folgendes: unter den Voraussetzungen gilt
1.

f ’ (x) = 0 \Leftrightarrow (f^{2}) ’ (x) = 0

2.Sei

f ’ (x) = (f^{2}) ’ (x) = 0

. Dann gilt

f ’ ’ (x) \neq 0 \Leftrightarrow (f^{2}) ’ ’ (x) \neq 0

.
Verwende also die Produktregel und überlege Dir dann die entsprechenden Argumente.

n1ght aktiv_icon

20:02 Uhr, 29.03.2011

Erstmal vielen Dank für die schnelle Antwort. Ich werde morgen mit der Aufgabe weiter machen, da ich heute leider keine Zeit mehr habe. Weiteres morgen.

Danke

n1ght aktiv_icon

21:42 Uhr, 30.03.2011

Also ich komme echt nicht weiter mit den Tipps. Ich verstehe nicht was ich mit

f (x)

machen soll. Einfach eine beliebige Funktion nehmen und die ableiten und dann die Funktion quadrieren und diese auch Ableiten und vergleichen? Außerdem habe ich noch ein Problem, ich muss das Ergebnis in LATEX verfassen. Ich habe noch nie damit gearbeitet, geschweige denn weiß ich welche Programme ich dafür brauche. Bitte um HILFE!!!

: (

michaL aktiv_icon

22:00 Uhr, 30.03.2011

Hallo,

poste doch mal die Original-Aufgabenstellung, damit wir nicht weiter im Trüben fischen.

Zu Latex: du brauchst einen beliebigen Editor und einen Latex-"Kompiler". Ein paar Hilfspakete wären außerdem ganz gut.
Unter guten Betriebssystemen wie Linux gibt es passende Pakete, die man aus dem Internet nachinstallieren kann. Wie das unter den anderen Systemen ist, hab ich vergessen.

Mfg Michael

n1ght aktiv_icon

14:51 Uhr, 31.03.2011

Also das ist die Originalaufgabenstellung. Also es kann sein, dass sich mein Tutor falsch ausgedrückt hat, da er aus Russland kommt und erst seit wenigen Jahren in Deutschland lebt. Daher sind die Fachtermini manchmal falsch.

michaL aktiv_icon

16:09 Uhr, 31.03.2011

Hallo,

da ich nun keine Ahnung hab, ob ich die Funktionen als differenzierbar ansehen darf, muss man ohne solche Voraussetzungen arbeiten.

Zunächst einmal müssen wir (ohne Verwendung von Differentialrechnung) angeben, was ein Extremum einer Funktion ist. Dabei finde ich sinnvoll, eine Stelle

x

als (lokale) Maximalstelle zu definieren, wenn
(i)

x

kein(!) Randpunkt ist und
(ii) es eine (offene) Umgebung

U

von

x

in der Definitionsmenge gibt, sodass für alle

y \in U

die Ungleichung

f (x) \leq f (x)

gilt.

Über (i) kann man verhandeln, ebenso über die Forderung einer offenen Umgebung.
Für diesen Fall ist das aber unerheblich, da wir stets über die gleichen

x

reden, die gleichen Umgebungen

U

vorhanden sind, da die Definitionsmenge bei beiden Funktionen ja offenbar die gleiche sein soll.

Ist nun

x

eine Maximalstelle von

f

, gilt also

0 \leq f (y) \leq f (x)

für alle

y

einer Umgebung

U

von

x

, so gilt auch

f^{2} (y) \leq f^{2} (x)

für alle

y

derselben Umgebung

U

von

x

, d.h.

x

ist auch Maximalstelle der Funktion

f^{2}

.

Umgekehrt folgt aus

f^{2} (y) \leq f^{2} (x)

stets

f (y) \leq f (x)

, da

f (x), f (y) \geq 0

gilt.

Mit anderen Worten: wir verwenden, dass Quadrieren auf der Menge

ℝ_{+}

eine Äquivalenzrelation ist, also auf der Menge

f (y) \leq f (x)

und

f^{2} (y) \leq f^{2} (x)

zueinander äquivalent sind.

Ich denke, dass weder Stetigkeit noch gar Differenzierbarkeit hierbei gebraucht werden.

Mfg Michael

n1ght aktiv_icon

10:34 Uhr, 03.04.2011

Ja vielen dank erstmal. Also ist das deiner Meinung nach die Lösung ohne Diff-rechnung? Jetzt muss ich das ganze noch "texen". Dafür habe ich mir MiKTeX runtergeladen. Benötige ich noch weitere Programme dafür?

Vielen vielen Dank erstmal

michaL aktiv_icon

10:54 Uhr, 03.04.2011

Hallo,

ich denke nicht. Da sollte (auch für Win & Co) ein Editor dabei sein, der den LaTex-Kompiler für einen aufruft und es einem ermöglicht, die Ausgabedatei anzuschauen.

Ich weiß nicht, ob es das auch unter Nicht-Linux gibt, aber LyX ist eine Umgebung, die wysiwyg mit LaTeX zu implementieren versucht. Wenn du nichts weiter als das zu texen hast, reicht das bestimmt.
Aber als Mathematiker kann man eigentlich nicht früh genug mit echtem LaTeX anfangen. :-)

Mfg Michael

n1ght aktiv_icon

11:14 Uhr, 03.04.2011

Also ich habe gerade angefangen zu texen. Nun habe ich das Problem, dass das "Element von" und das ">=" Zeichen nicht akzeptiert wird.

michaL aktiv_icon

11:16 Uhr, 03.04.2011

Hallo,

ich weiß nicht, wie das hier geht, aber vielleicht kannst du mir mal den Quelltext schicken (oder in einer Nachricht deine Adresse).

Mfg Michael

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