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Beweis für Kreuzprodukt in einer Menge

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Tags: Menge, polynom, Ring

 
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Jebediah-Kerman

Jebediah-Kerman aktiv_icon

16:03 Uhr, 06.12.2018

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Hallöle,

Ich habe die folgende Aufgabe, an der ich gerade am Verzweifeln bin:

Gegeben sei:
R=ℤ oder R=K[X] für einen Körper K
a,b∈R
g:= ggT(a,b)
p,q∈R mit a=pg und b=qg
Für c∈R sei Sc:={(x,y)∈R×R| xa+yb=c}

Zeigen Sie:
(a) Für d∈R und (x,y)∈Sg ist (dx,dy) in S_dg.

(b) Für c∈R ist genau dann Sc≠∅, wenn g|c gilt.

(c) Für c∈R und (x,y)∈Sc gilt Sc={(x+x0,y+y0)|(x0,y0)∈S0}

(d) Es gilt S0=R×R, falls (a,b)=(0,0)
----S0= {(mq,-mp)| m∈R}, falls (a,b)≠(0,0).

Leider habe ich keinen Schimmer, wie ich die Beweise ansetzen soll. :(
Wenn mir jemand einen kleinen Schubser in die richtige Richtung geben könnte, wäre ich sehr dankbar.

MfG,
Jeb.


Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."
Hierzu passend bei OnlineMathe:

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:
 
Online-Nachhilfe in Mathematik
Antwort
pwmeyer

pwmeyer aktiv_icon

12:06 Uhr, 07.12.2018

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Hallo,

die Aufgabe ist ganz einfach. Du lässt Dich von dem Formalismus blenden.

Fang mal mit a) an und versuche die Aufgabenformulierung zu verstehen.

Für b) brauchst Du zum Teil einen Satz aus der Vorlesung, und zwar über den erweiterten Euklidischen Algorithmu.

Der Rest sagt, dass die Lösung einer linearen Gleichung aus einer Lösung der inhomogenen Gleichung besteht + der allgemeinen Lösung der homogenen Gleichung - vgl. Lineare Algebra.


Gruß pwm