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Beweis für Minimalpolynom/Dimension des Eigenraums

Universität / Fachhochschule

Polynome

Tags: Charakteristisches Polynom, dimension, Eigenraum, Minimalpolynom

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22:50 Uhr, 24.06.2008

Sei V ein K-Vektorraum, a $\in$ K, A $\in$ Hom(V,V).

(a) Ist $f_{A} = {(x - a)}^{6}$ und $m_{A} = {(x - a)}^{4}$ , so ist $\dim V (a) \leq 3.$

(b) Ist $f_{A} = {(x - a)}^{9}$ und $\dim V (a) = 7$ , so ist ${(x - a)}^{2}$ ein Teiler von $m_{A}$ und $m_{A}$ teilt ${(x - a)}^{3}$ .

zu a) $f_{A} = {(x - a)}^{6} = {(x - a)}^{4} {(x - a)}^{2} = {(x - a)}^{2} {(x - a)}^{2} {(x - a)}^{2}$

Da $m_{A}$ den Grad 4 hat, kann der Eigenraum maximal die Dimension 4 haben. Da $m_{A}$ sich aber in 2 gleiche Polynome 2. Grades aufspalten lässt, ist A nicht diagonalisierbar nach einem Satz aus der Vorlesung, womit der Eigenraum nur noch maximal 3 linear unabhängige Eigenvektoren haben kann (Definition von Diagonalisierbarkeit). 3 Linear unabhängige Vektoren spannen nun aber maximal einen 3-dimensionalen Raum auf.

zu b) $f_{A} = {(x - a)}^{9} = {(x - a)}^{8} (x - a) = (x - a) (x - a) (x - a) (x - a) (x - a) (x - a) (x - a) (x - a) (x - a)$ $m_{A} = {(x - a)}^{8} = (x - a) (x - a) (x - a) (x - a) (x - a) (x - a) (x - a) (x - a) = {(x - a)}^{3} {(x - a)}^{3} {(x - a)}^{2}$

Nach Zeile 1 hat $m_{A}$ die Dimension 8, ist aber in gleiche Polynome zerlegbar und somit nicht diagonalisierbar. Damit hat mit der selben Begründung wie in a) der Eigenraum maximal die Dimension 7. Wenn er nun die Dimension 7 hat, lässt sich $m_{A}$ wie in Zeile 2 zerlegen, womit $m_{A}$ ${(x - a)}^{3}$ und ${(x - a)}^{2}$ als Teiler hat.

Wäre nett, wenn einer korrekturlesen könnte.

Hierzu passend bei OnlineMathe:

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:

Matrizen - Eigenwerte und Eigenvektoren

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