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Beweis für Restklassenkörper

Universität / Fachhochschule

Finanzmathematik

Tags: Körper, Lineare Algebra, Restklassenkörper, Restklassenring

 
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jan310

jan310 aktiv_icon

12:40 Uhr, 17.01.2021

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Hallo, ich brauche Hilfe bei folgender Aufgabe:

Es sei m∈ℕ\{1} keine Primzahl. Zeige, dass ℤ|mℤ kein Körper ist.

Was ich bereits verstanden habe:
Eine Menge K mit zwei Verknüpfungen + und ⋅ heißt Körper, wenn:
(K,+) eine kommutative Gruppe ist,
(K\{0},⋅) eine kommutative Gruppe ist
und wenn Distributivität für die Elemente von K gilt (also a(b+c)=a⋅b+a⋅c)

ℤ|mℤ ist der Restklassenring für die Menge aller Restklassen modm

Womit ich mich schwer tue:
Am Ende meiner Vorlesung hieß es, dass wenn p eine Primzahl ist, dann ist ℤ|pℤ ein Restklassenkörper.

Ich verstehe nicht ganz den Zusammenhang zwischen einem Körper und einem Restklassenring/-körper.

Könnte man das so aufschreiben?: (ℤ|pℤ,+,⋅)

Wenn das so wäre verstehe ich nicht wie man bei der Mal-Verknüpfung auf ein inverses Element kommen kann, ob p nun eine Primzahl ist oder nicht.
Angenommen ich habe die Restklasse von 5mod3 also [5], dann müsste ich doch mit [15] (als inverses Element) multiplizieren, um auf das neutrale Element [1] zu kommen, also [5]⋅[15]=[1].

Wäre sehr hilfreich, wenn mich jemand aufklären könnte ... Danke schon mal im Voraus !


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ledum

ledum aktiv_icon

13:08 Uhr, 17.01.2021

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Hallo
erstens Inverse in einem Primzahl ℤp Körper,
a)dein Beispiel 5mod 3=2mod3 2*2=4=1mod 3 also ist 2Invers zu sich selbst oder auch 5*2=10=1mod3. wenn du 3mod 5 meintest
3⋅2=6=5+1 also ist das Inverse zu 3 InZZ_5 .
allgemein hast du im Primzahlkörrper p die Zahlen 0,1,....,p-1 nur 0 hat kein Inverses, dagegen wenn du modn rechnest und n nicht primär kannst du n=p⋅q rechnen, p,q<n also hat p und q kein Inverses da das Produkt 0 ergibt.
(es ist ungeschickt das Inverse als Bruch zu schreiben, Brüche gibt es nicht im Bereich der ganzen Zahlen.)
Gruß ledum
jan310

jan310 aktiv_icon

15:09 Uhr, 17.01.2021

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Danke für die schnelle Antwort, das hat mir schon mal weitergeholfen.

Das was ich noch nicht verstanden hab ist dieser Part:

"... dagegen wenn du modn rechnest und n nicht primär kannst du n=p⋅q rechnen, p,q<n also hat p und q kein Inverses da das Produkt 0 ergibt"
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